伸缩： y = f (x) 每一 点的横坐标变为原来 的ϖ倍→ y = f (ϖ1 x) 对 称：“ 对 称 谁， 谁 不 变， 对 称 原 点 都 要 y = f (x) x轴→ y = − f (x) 变” y = f (x) y轴→ y = f (−x) y = f (x) 原点→ y = − f (−x)
注：y=ax 与 y=logax 图象关于 y=x 对称 ( 互为反函数 )
分数、指数、有理数幂
m
an =
1
n am
( a > 0, m, n ∈ N ∗ ，且 n > 1 )；
−m
a n=
1
m
( a > 0, m, n ∈ N ∗ ，
且
n >1 ）
an
( n a )n = a 当 n 为奇数时，n an = a ；当 n 为偶数时，
§01. 集合与简易逻辑
1．元素与集合的关系
x ∈ A ⇔ x ∉ CU A , x ∈ CU A ⇔ x ∉ A
2．集合运算 全集 U：如 U=R 交集： A B = {x x ∈ A且x ∈ B}
并集： A ∪ B = {x x ∈ A或x ∈ B}
补集： CU A = {x x ∈U且x ∉ A}
f (x1) − f (x2 ) > 0 ⇔ f (x)在[a,b]
x1 − x2
上是增函数；
[ ] (x1 − x2 ) f (x1) − f (x2 ) < 0 ⇔
f (x1) − f (x2 ) < 0 ⇔ f (x)在[a,b]
x1 − x2
上是
f g ( x)
减函数 . 对于复合函数的单调性：
对于复合函数： f g ( x) 内偶则偶，两奇为奇
奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那 么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称， 那么这个函数是偶函数． 若函数 y = f (x) 是偶函数，则 f (x + a) = f (−x − a)；
6. 真值表
ｐ
ｑ
真
真
真
假
假
真
假
假
非ｐ 假 假 真 真
ｐ或ｑ 真 真 真 假
ｐ且ｑ 真 假 假 假
7. 常见结论的否定形式
原结论 反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个 一个也没有
都是
不都是
至多有一个 至少有两个
大于
不大于 于)
(
小于等
至少有个
n
至多有
( n −1 ) 个
小于
不小于 ( 大于等 至多有 n 个 至 少 有
互为反函数的两个函数的关系 f (a) = b ⇔ f −1(b) = a
. 几中常见抽象函数原型
(1). f (x + y)= f (x) + f ( y), f (1)= c 正 比 例 函
数 f (x) = cx (2). f (x + y) =f (x) f ( y), f (1) =a ≠ 0 指 数 函 数
(2) 函数 y = f (x) 的图象关于直线 x = a + b 对称 2
两个函数图象的对称性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1) 函数 y = f (x) 与函数 =y f (−x) 的图象关于
直线 x = 0 ( 即轴 ) 对称 . (2) 函 数 y = f (x) 和 y = f −1 (x) 的 图 象 关 于 直 线
(2) f (x) = f (x + a) = 0 ，
或
f (x + a) =
f
1 (x)
(
f
(x)
≠
0)
，
或 f (x + a) =− 1 , f (x)
4. 函数的图象的对称性
(1) 函 数 y = f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x = a 对 称
⇔ f (2a − x) =f (x) .
同增异减 ( 即
f g ( x) 与 g ( x) 的增减性相同，那么符合函数就是增函
数 ( 同增 )；
f ( x) 与 g ( x) 的增减性相反，那么符合函数就是减函
数 ( 异减 ))
(2) 设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果，
f ′(x) > 0 则 v f (x) 为增函数；如果 f ′(x) < 0 ，
2 若 f (x) = − f (−x + a) , 则 y = f (x) 函数的图象关
于点 ( a ,0) 对称 ; 2
若 f (x) = − f (−x + a) , 则函数 y = f (x) 为周期
为 2a 的周期函数 .
多项式函数 P(x)=
an xn
+
an −1 x n −1
++
a0
高中数学公式大全 ( 简化版 ) 目录
1 集合与简易逻辑 ………………………01 2 函数 ……………………………………02 3 导数及其应用 …………………………07 4 三角函数 ………………………………09 5 平面向量 ………………………………10 6 数列 ……………………………………11 7 不等式 …………………………………12 8 立体几何与空间向量 …………………13 9 直线与圆 ………………………………16 10 圆锥曲线………………………………18 11 排列组合与二项式定理………………19 12 统计与概率……………………………20 13 复数与推理证明………………………23
的奇偶
性
多项式函数 t P(x) 是奇函数 ⇔ P(x) 的偶次项的系
数全为零 .( 常数按偶次项看待 )
多项式函数 P(x) 是偶函数 ⇔ P(x) 的奇次项的系
数全为零 . 3. 函数的周期性
T 是 f (x) 周 期 ⇔ f (x + T ) =f (x) 恒 成 立 ( 常 数
T ≠0 )
(1) f (x) = f (x + a) ， 则 f (x) 的 周 期 T=a；
常用对数 lg N = log10 N ， lg 2 + lg 5 = 1
自然对数 ln N = loge N ， ln e = 1
7. 函数图像与方程 描点法
函数化简→定义域→讨论性质 ( 奇偶、单调 ) 取特殊点如零点、最值点等 图象变换 平移：“左加右减，上正下负” y = f (x) → y = f (x + h)
(3) 零点式 f (x) =a(x − x1)(x − x2 )(a ≠ 0) ;
闭区间上的二次函数的最值
二 次 函 数 f (x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 在 闭 区 间
[p,q] 上的最值只能在
x
=
−
b 2a
处及区间的两端点处取
得，具体如下：
( 1 ) 当 a > 0 时 ， 若 x = − b ∈[p,q] ， 则
于)
( n +1 ) 个
对所有
x ，成立
存在某 x ，不
成立
p 或q
¬p 且 ¬q
对任何 x 存在某 x ，成 p 且 q
，不成立 立
¬p 或 ¬q
8. 四种命题
原命题：若 p 则 q 逆命题：若 q 则 p
否命题：若则
逆否命题：若则
原命题与逆否命题真假相同
否命题与逆命题真假相同
9. 充要条件
(1) 充分条件：若 p ⇒ q ，则 p 是 q 充分条件 .
y=x 对称 .
若 将 函 数 y = f (x) 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位， 得 到 函 数 y = f (x − a) + b 的 图 象； 若 将 曲 线 f (x, y) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f (x − a, y − b) = 0 的图象 .
对数的四则运算法则 若 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0，N ＞ 0，则
(1) loga= (MN ) loga M + loga N ;
((23))= . lol= ogga aMNM n logna
M− loga
loga N M (n ∈
;
R)
注：性质 loga 1 = 0 log a a = 1 a loga N = N
f (x) = loga x
(3). f (xy) = f (x) + f ( y), f (a) =1(a > 0, a ≠ 1) 对 数 函 数 f (x) = loga x
= (4). f (xy) f= (x) f ( y), f ' (1) α 幂函数
( 5 ) f (x= − y) f (x) f ( y) + g(x)g( y) ，
3．集合关系
空集 φ ⊆ A
子集 : A ⊆ B 任意 x ∈ A ⇒ x ∈ B
AB = A⇔ A⊆ B AB = B ⇔ A⊆ B
注：数形结合 --- 文氏图、数轴 4. 包含关系
A B = A ⇔ A B = B ⇔ A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A ⇔ CU A B = R
5．集合的子集个数共有 个；真子集有 –1 个；非空 子集有 –1 个；非空的真子集有 – 2 个 .
注：
y
=
f (x)
直线x = a
→
y = f (2a − x)
翻折： y = f (x) → y =| f (x) | 保留 x 轴上方部分， 并将下方部分沿 x 轴翻折到上方