9.4直线和平面垂直的判定和性质
９.4.4斜线在平面内的射影 9.4.5直线和平面所成的角
四.斜线在平面内的射影
p
１.垂线、斜线、射影
(１)垂线
Q
过一点向平面引垂线，垂足叫做这
点在这个平面上的射影；
这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿ 内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
是__A_B_、__A_C__在_平__面___内__的__射__影_，则有
OB=OC AB=AC
A
OB＞OC AB ＞AC
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
B
O
C
A
2．射影定理
从平面外一点向
这个平面所引的垂线
O
C
段和斜线段中， B
（1）射影相等的两条斜线段相等，射 影较长的斜线段也较长
BO是AO在内 的 射 影
AOB是AO与所成的角 O
B
说明：
①一条直线垂直与平面，它们所成的角 是直角；
②一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。
③直线和平面所成角的范围是[0，90]
l是平面 的斜线，点O是斜足，A是l 上任意一点，AB是平面 的垂线，B是垂 足，直线OB是l在内的射影， ∠AOB (记作θ）是l与平面 所成的角.
（2）相等的斜线段的射影相等，较长 的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC
所在平面上的射影是△ABC的＿外 心。
P
A
C
O
B
练习
2.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一
定是平行直线
（）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
一定是相交直线
（）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影要 么是平行直线，要么是相交直线 （ ）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内的
射影长也相等
（）
五.直线和平面所成的角
１.定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角。
A
AB
说明：②斜线上 任意一点在平面 上的射影，一定 在斜线的射影上。
A
E
BC
F
思考：
①从平面外一点向这个平面引的垂线段 和斜线段，它们的射影和线段本身之间 有什么关系？
②从平面外一点向这个平面所引的垂线 段和斜线段AB、AC、AD、AE…中，那 一条最短？
A
几何画板测量
BC
E
D
如图，AO是平面 的垂线段，AB、 AC是平面 的斜线段， OB、OC分别
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
说明：①平面外一
P
点到这个平面的垂
线段有且只有一条，
而这点到这个平面 的斜线段有无数条
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角。
A
AB
BO是AO在内 的 射 影
AOB是AO与所成的角ห้องสมุดไป่ตู้ O
B
２、定理及推论
２.定理： 斜线和平面所成的角，是这条 斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切 角中最小的角。
推论：斜线和平面所成的角，是这条 斜线和平面内任意的直线所成的一切 角中最小的角。
OD是 内不同于OB的
Al
任一直线，过点A引AC
垂直于OD，垂足为C.
θ与∠AOD的大 小关系如何？
O
B
CD
２斜θ与线.定∠和理AO平：D面的斜内大线小经和关过平系斜面如足何所的？成直的线角所，成是的这一条切
角中最小的角。 Al
O
B
CD
平拓在si面nR展t所△：A成斜AAOOB的B线中角和，， 是在这Rt 条△斜AO线C中和，平 面si内n任AO意D的 直AC线 所∵A成B＜的A一C，切角AO中 最∴s小inθ的＜角sin∠。AOD
T
Q
RS
(３)射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影．
垂足与斜足间的线段叫做这点到平
面的斜线段在这个平面上的射影．
A 如图：直＿线＿B＿C＿是斜线AC
在 内的射影，线段BC是
BC
＿斜＿线＿段＿AC＿在＿＿内＿的＿射＿影＿
思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？
∴θ＜∠AOD
例1.如图，AO是平面π的斜线，AB ⊥ 平面π于B，OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ， ∠AOD= ，求证：cos =cos cos
A
O
B
CD
例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求A1B与平面BB1D1D所成的角
小结
一、斜线在平面内的射影 １、垂线、斜线、射影
2、射影定理
2．射影定理
A
从平面外一点向
这个平面所引的垂线
段和斜线段中，
OC B
（1）射影相等的两条斜线段相等，射 影较长的斜线段也较长
（2）相等的斜线段的射影相等，较长 的斜线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
二、直线和平面所成的角
１、定义
１.直线和平面所成的角定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影