14．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）
【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
8．在矩形ABCD中， ，在CD上任取一点P，使 的最大边是AB的概率为 ，则在折线A-D-C-B上任取一点Q，使 是直角三角形的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意设 ，由几何概型概率公式结合勾股定理可得 ，再由几何概型概率公式即可得解.
设 ，所以 ，
所以数列 单调递减，所以数列 是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）
当 时， 且 所以 .
，
则 的几何意义为点 ， 到点 的距离的平方，
即求点 ， 到 的距离 的最小值，
所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
由函数的图象可知当 时， .
所以点 ， 为 时，它到 的距离 最小，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．
【详解】
（x2+ ）6展开式中，由通项公式可得 ,
令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为 ，可得 ＝15，解得a＝2．
曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为 ．
【解析】
【分析】
求出二项式 展开式的通项为 ，可知当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，然后代入 即可得出 的值.
【详解】
二项式 展开式的通项 ，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
因此， .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据二项式定理求出 ，把 的值带入 即可求出结果.
【详解】
解题分析根据二项式 的展开式的通项公式得 .
第三项的系数为1， ，
则 .
故选：A
【点睛】
本题考查二项式定理及定积分.需要记住二项式定理展开公式： .属于中等题.
13．已知 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
A．150B．240C．360D．540
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，把 个消防队分成三组，可分为 ， 两类方法，（1）分为 ，共有 种不同的分组方法；（2）分为 ，共有 种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有 种不同的分配方案，故选A．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排 个消防队”的要求，明确要将 个消防队分为 ， 的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将 个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
新数学《计数原理与概率统计》复习知识点
一、选择题
1．如图所示，线段 是正方形 的一条对角线，现以 为一条边，作正方形 ，记正方形 与 的公共部分为 （如图中阴影部分所示），则往五边形 中投掷一点，该点落在 内的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
五边形 的面积 ，阴影 的面积为 ，得到概率.
【详解】
由 ，得 ，令 ，则 .
1
2
3
4
1
3
4
6
， ，
∵ 满足 ，∴ ，
解得 ，∴ ，∴ ，
当 时， ，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.
12． 的展开式中，第三项的系数为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
可能的取值为 ； 可能的取值为 ，
， ， ，
故 ， .
， ，
故 ， ,
故 ， .故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
【答案】C
【解析】
【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.
【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品， ；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品， ；
故 .
故选： .
（4）中，当 时，可得 成立，当 时，只需满足 ，所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
A．80B．48
C．−40D．−80
【答案】D
【解析】
展开式的通项公式为： ，
令 ， ，所求系数为 ，故选 .
19．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（）
【详解】
不妨设 ，故五边形 的面积 ，阴影 的面积为 ，
故所求概率为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题 使得 ，则 都有 ；
（2）已知 ，则
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为 ；
17．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有()
A．125个B．60个C．100个D．48个
【答案】C
【解析】
由题意得， ， 的选择一共有 =4， 的选择一共有 ，c的选择共 种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N= =100种。选C.
18．二项式 的展开式中含 项的系数是
A． 种B． 种
C． 种D． 种
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，
6．设 ， 为 的展开式的各项系数之和， ， ， （ 表示不超过实数x的最大整数）.则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令 可得， ，求出 ，则 的几何意义为点 ， 到点 的距离的平方，最小值即 到 的距离 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．
【详解】
令 可得， ， ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
16．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2
当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；
当按照1、2、2来分时共有 种分组方法；
则一共有 种分组方法；
②、将分好的三组对应三家酒店，有 种对应方法；
则安排方法共有 种；
故选D．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
（4）“ ”是“ ”的充分不必要条件.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．