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2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及参考答案

2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(2分)下列运算正确的是()A.a3+a3=a6 B.2(a+1)=2a+1 C.(ab)2=a2b2D.a6÷a3=a22.(2分)下列各数中,是无理数的是()A.cos30°B.(﹣π)0 C.﹣ D.3.(2分)计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是()A.﹣21 B.﹣1 C.9 D.114.(2分)体积为80的正方体的棱长在()A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间5.(2分)如图,将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的,长度不变,AB、BC的长度也不变,则∠ABC的度数大小由60°变为()A.()°B.()°C.()°D.()°6.(2分)如图,正方形OABC的边长为6,A,C分别位于x轴、y轴上,点P在AB上,CP交OB于点Q,函数y=的图象经过点Q,若S△BPQ =S△OQC,则k的值为()A.﹣12 B.12 C.16 D.18二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)7.(2分)使式子1+有意义的x的取值范围是.8.(2分)计算:﹣=.9.(2分)有一组数据:1,3,3,4,4,这组数据的方差为.10.(2分)设x1,x2是方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2=.11.(2分)今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次,将41000000用科学记数法表示为.12.(2分)如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是.13.(2分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,OH=8,则菱形ABCD的周长等于.14.(2分)如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),若DE⊥B′C′,则∠α=°.15.(2分)如图,三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7,4.5的大矩形中,图中一个小矩形的周长等于.16.(2分)若﹣2≤a<2,则满足a(a+b)=b(a+1)+a的b的整数值有个.三、解答题(本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(1)解方程:3(x﹣1)=x(1﹣x);(2)化简:﹣;(3)解不等式组:,并将解集在数轴上表示.18.(7分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)若BD=EF,连接DE、BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.19.(7分)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,求下列事件的概率;(1)抽取1名,恰好是甲;(2)抽取2名,甲在其中.20.(7分)元宵节那天,李老师给他的微信好友群发了一个小调查:“元宵节,你选择吃大汤圆,还是小元宵呢?”12小时内好友回复的相关数据如图:(1)回复时间为5小时~12小时的人数为;(2)既选择大汤圆,又选择小元宵的人数为;(3)12小时后,又有40个好友回复了,如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”,加入“12小时后”这一项,求该项所在扇形的圆心角度数.21.(7分)如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:(1)sin60°=;cos75°=;(2)若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长.(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)22.(8分)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,3),(3,6),(﹣2,11).(1)求该二次函数的关系式;(2)证明:无论x取何值,函数值y总不等于1;(3)如何平移该函数图象使得函数值y能等于1?23.(7分)如图,已知△ABC,△DCE是两个全等的等腰三角形,底边BC、CE 在同一直线上,且AB=,BC=1,BD与AC交于点P.(1)求证:△BED∽△DEC;(2)求△DPC的周长.24.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得∠DAC=∠AED.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若点E是的中点,AE与BC交于点F,①求证:CA=CF;②当BD=5,CD=4时,DF=.25.(7分)随着“互联网+”时代的到来,一种新型打车方式受到大众欢迎.该打车方式的计价规则如图①所示,若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm,则打车费用为(ps+60q•)元(不足9元按9元计价).小明某天用该打车方式出行,按上述计价规则,其打车费用y(元)与行驶里程x(km)的函数关系也可由如图②表示.(1)当x≥6时,求y与x的函数关系式.(2)若p=1,q=0.5,求该车行驶的平均速度.26.(8分)某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如表.与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5).项目第一次锻炼第二次锻炼步数(步)10000①平均步长(米/步)0.6②距离(米)60007020注:步数×平均步长=距离.(1)根据题意完成表格填空;(2)求x;(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.27.(10分)如图①,现有长度分别为a、b、1的三条线段.【加、减】图②所示为长为a+b的线段,请用尺规作出长为a﹣b的线段.【乘】在图③中,OA=a,OC=b,点B在OA上,OB=1,AD∥BC,交射线OC于点D.求证:线段OD的长为ab.【除】请用尺规作出长度为的线段.【开方】任意两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是有理数,而开方运算则打开了通向无理数的一扇门.请用两种不同的方法,画出长度为的线段.注:本题作(画)图不写作(画)法,需标明相应线段长度.2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1.(2分)下列运算正确的是()A.a3+a3=a6 B.2(a+1)=2a+1 C.(ab)2=a2b2D.a6÷a3=a2【解答】解:A、a3+a3=2a3,故A选项错误;B、2(a+1)=2a+2≠2a+1,故B选项错误;C、(ab)2=a2b2,故C选项正确;D、a6÷a3=a3≠a2,故D选项错误.故选:C.2.(2分)下列各数中,是无理数的是()A.cos30°B.(﹣π)0 C.﹣ D.【解答】解:A、cos30=是无理数,B、(﹣π)0=1是有理数,C、﹣是有理数,故C错误;D、=8是有理数,故D错误;故选:A.3.(2分)计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是()A.﹣21 B.﹣1 C.9 D.11【解答】解:原式=×8﹣5=4﹣5=﹣1.故选:B.4.(2分)体积为80的正方体的棱长在()A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间【解答】解:∵,∴4<<5,故选:B.5.(2分)如图,将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的,长度不变,AB、BC的长度也不变,则∠ABC的度数大小由60°变为()A.()°B.()°C.()°D.()°【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n,则AC=,由AC=AB,解得n=,故选D.6.(2分)如图,正方形OABC的边长为6,A,C分别位于x轴、y轴上,点P在AB上,CP交OB于点Q,函数y=的图象经过点Q,若S△BPQ =S△OQC,则k的值为()A.﹣12 B.12 C.16 D.18【解答】解:∵PB∥OC(四边形OABC为正方形),∴△PBQ∽△COQ,∴==,∴PB=PA=OC=3.∵正方形OABC的边长为6,∴点C(0,6),点P(6,3),直线OB的解析式为y=x①,∴设直线CP的解析式为y=ax+6,∵点P(6,3)在直线CP上,∴3=6a+6,解得:a=﹣,故直线CP的解析式为y=﹣x+6②.联立①②得:,解得:,∴点Q的坐标为(4,4).将点Q(4,4)代入y=中,得:4=,解得:k=16.故选C.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)7.(2分)使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1.【解答】解:由题意知,分母x﹣1≠0,即x≠1时,式子1+有意义.故答案为:x≠1.8.(2分)计算:﹣=.【解答】解:原式=﹣=.故答案为:.9.(2分)有一组数据:1,3,3,4,4,这组数据的方差为 1.2.【解答】解:这组数据的平均数是:(1+3+3+4+4)÷5=3,则这组数据的方差为:[(1﹣3)2+(3﹣3)2+(3﹣3)2+2(4﹣3)2]=1.2.故答案为:1.2.10.(2分)设x1,x2是方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2=﹣4.【解答】解:根据题意得x1+x2=﹣4.故答案为﹣4.11.(2分)今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次,将41000000用科学记数法表示为 4.1×107.【解答】解:41 000 000=4.1×107,故答案为:4.1×107.12.(2分)如图,已知⊙O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是5.【解答】解:过O作OC⊥AB于C,∴AC=BC=AB=12,在Rt△AOC中,由勾股定理得:OC==5,故答案为:5.13.(2分)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,OH=8,则菱形ABCD的周长等于64.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,∴AC⊥BD,AB=AD=CD=BC.∵H为AD边中点,OH=8,∴AD=16,∴菱形ABCD的周长=4AD=64.故答案为:64.14.(2分)如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),若DE⊥B′C′,则∠α=54°.【解答】解:DE与B′C′相交于O点,如图,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠B=∠BAE=∠E==108°,∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),∴∠BAB′=α,∠B′=∠B=108°,∵DE⊥B′C′,∴∠B′OE=90°,∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°,∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°,即∠α=54°.故答案为54.15.(2分)如图,三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7,4.5的大矩形中,图中一个小矩形的周长等于 6.8.【解答】解:设小矩形的长为xm,宽为ym,由题意得:,解得:x+y=3.4.一个小矩形的周长为:3.4×2=6.8,故答案为:6.8.16.(2分)若﹣2≤a<2,则满足a(a+b)=b(a+1)+a的b的整数值有7个.【解答】解:由a(a+b)=b(a+1)+a可得b=a2﹣a=(a﹣)2﹣,∵﹣2≤a<2,∴﹣≤b≤6,则满足条件的b的整数值有0、1、2、3、4、5、6这7个,故答案为:7.三、解答题(本大题共11小题,共88分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(1)解方程:3(x﹣1)=x(1﹣x);(2)化简:﹣;(3)解不等式组:,并将解集在数轴上表示.【解答】解:(1)3(x﹣1)=﹣x(x﹣1)3(x﹣1)+x(x﹣1)=0(x﹣1)(x+3)=0x1=1,x2=﹣3.(2)﹣=﹣===.(3)解不等式3x+1≤2,得x≤解不等式,得x<﹣1,将解集表示在数轴上如下:故不等式组的解集为x<﹣1.18.(7分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.(1)求证:△BOE≌△DOF;(2)若BD=EF,连接DE、BF,判断四边形EBFD的形状,无需说明理由.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,在△BOE和△DOF中,,∴△BOE≌△DOF(SAS);(2)解:四边形EBFD是矩形;理由如下:∵OB=OD,OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BD=EF,∴四边形EBFD是矩形.19.(7分)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,求下列事件的概率;(1)抽取1名,恰好是甲;(2)抽取2名,甲在其中.【解答】解:(1)∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者,∴抽取1名,恰好是甲的概率为:;(2)∵抽取2名,可得:甲乙,甲丙,乙丙,共3种等可能的结果,甲在其中的有2种情况,∴抽取2名,甲在其中的概率为:.20.(7分)元宵节那天,李老师给他的微信好友群发了一个小调查:“元宵节,你选择吃大汤圆,还是小元宵呢?”12小时内好友回复的相关数据如图:(1)回复时间为5小时~12小时的人数为10;(2)既选择大汤圆,又选择小元宵的人数为30;(3)12小时后,又有40个好友回复了,如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”,加入“12小时后”这一项,求该项所在扇形的圆心角度数.【解答】解:(1)回复时间为5小时~12小时的人数为:200×(1﹣50%﹣30%﹣15%)=10(人);故答案为:10;(2)既选择大汤圆,又选择小元宵的人数为:(150+80)﹣200=30(人)故答案为:30;(3)根据题意得:×360°=60°.答:“12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为60°.21.(7分)如图,点P、M、Q在半径为1的⊙O上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:(1)sin60°=;cos75°=0.26;(2)若MH⊥x轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长.(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)【解答】解:(1)由图可知,sin60°=,cos75°==0.26,故答案为:;0.26;(2)在Rt△MHO中,sin∠MOH=,即MH=MO•sin∠MOH=1×=.∴OH=,设PA⊥x轴,垂足为A,如右图所示,∵∠NHO=∠PAO=90°,∴NH∥PA,∴△ONH∽△OPA,∴=,即=,∴NH≈0.134.∴MN=MH﹣MN=≈0.73.22.(8分)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0,3),(3,6),(﹣2,11).(1)求该二次函数的关系式;(2)证明:无论x取何值,函数值y总不等于1;(3)如何平移该函数图象使得函数值y能等于1?【解答】(1)解:由题意得:,解得:,∴该函数的函数关系式为:y=x2﹣2x+3.(2)证明:∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,∴当x=1时,y取最小值2,∴无论x取何值,函数值y总不等于1.(3)将该函数图象向下平移的距离大于等于1个单位长度.23.(7分)如图,已知△ABC,△DCE是两个全等的等腰三角形,底边BC、CE 在同一直线上,且AB=,BC=1,BD与AC交于点P.(1)求证:△BED∽△DEC;(2)求△DPC的周长.【解答】(1)证明:∵△ABC,△DCE是两个全等的等腰三角形,且底边BC、CE 在同一直线上,∴AB=AC=DC=DE=,BC=CE=1,∴BE=2BC=2,∵=,=,∴=.又∵∠BED=∠DEC,∴△BED∽△DEC;(2)解:∵△ABC,△DCE是两个全等的等腰三角形,且底边BC、CE在同一直线上,∴∠ACB=∠DEC,∴AC∥DE.∴==,∴PC=,PD=BD,过D作DM⊥CE于M,∵DC=DE,∴CM=ME=,在Rt△DMC中,由勾股定理得:DM==,在Rt△DMB中,由勾股定理得:BD==2,∴PD=BD=1,∴△DPC的周长=PC+PD+DC=+1+=+1.24.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点D、E在⊙O上,连接AE、ED、DA,连接BD并延长至点C,使得∠DAC=∠AED.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若点E是的中点,AE与BC交于点F,①求证:CA=CF;②当BD=5,CD=4时,DF=2.【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ABC+∠DAB=90°.∵∠DAC=∠AED,∠AED=∠ABC,∴∠DAC+∠DAB=90°,∴AC是⊙O的切线.(3分)(2)①证明:∵点E是的中点,∴=,∴∠BAE=∠DAE.∵∠DAC+∠DAB=90°,∠ABC+∠DAB=90°,∴∠DAC=∠ABC.∵∠CFA=∠ABC+∠BAE,∠CAF=∠DAC+∠DAE,∴∠CFA=∠CAF.∴CA=CF.②解:∵∠BAC=∠ADB=90°,∴∠ACD=∠BCA,∴△ADC∽△BAC.∴=.即AC2=BC×CD=(5+4)×4=36.解得AC=6.∴CA=CF=6,∴DF=CA﹣CD=2.故答案为2.25.(7分)随着“互联网+”时代的到来,一种新型打车方式受到大众欢迎.该打车方式的计价规则如图①所示,若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm,则打车费用为(ps+60q•)元(不足9元按9元计价).小明某天用该打车方式出行,按上述计价规则,其打车费用y(元)与行驶里程x(km)的函数关系也可由如图②表示.(1)当x≥6时,求y与x的函数关系式.(2)若p=1,q=0.5,求该车行驶的平均速度.【解答】解:(1)当x≥6时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.根据题意,当x=6时,y=9;当x=8时,y=12.所以,解得,所以,y与x之间的函数关系式为y=1.5x.(2)根据图象可得,当x=8时,y=12,又因为p=1,q=0.5,可得12=1×8+60×0.5×,解得:v=60.经检验,v=60是原方程的根.所以该车行驶的平均速度为60km/h.26.(8分)某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如表.与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5).项目第一次锻炼第二次锻炼步数(步)10000①10000(1+3x)平均步长(米/步)0.6②0.6(1﹣x)距离(米)60007020注:步数×平均步长=距离.(1)根据题意完成表格填空;(2)求x;(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.【解答】解:(1)①根据题意可得:10000(1+3x);②第二次锻炼的平均步长(米/步)为:0.6(1﹣x);故答案为:10000(1+3x);0.6(1﹣x);(2)由题意:10000(1+3x)×0.6(1﹣x)=7020解得:x1=>0.5(舍去),x2=0.1.则x=0.1,答:x的值为0.1;(3)根据题意可得:10000+10000(1+0.1×3)=23000,500÷(24000﹣23000)=0.5(m).答:王老师这500米的平均步幅为0.5米.27.(10分)如图①,现有长度分别为a、b、1的三条线段.【加、减】图②所示为长为a+b的线段,请用尺规作出长为a﹣b的线段.【乘】在图③中,OA=a,OC=b,点B在OA上,OB=1,AD∥BC,交射线OC于点D.求证:线段OD的长为ab.【除】请用尺规作出长度为的线段.【开方】任意两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是有理数,而开方运算则打开了通向无理数的一扇门.请用两种不同的方法,画出长度为的线段.注:本题作(画)图不写作(画)法,需标明相应线段长度.【解答】解:【加、减】如图①,线段AB长为a﹣b.【乘】证明:∵AD∥BC,∴=,即=.∴OD=ab.【除】如图②,OA=a,OC=b,点B在OC上,OB=1,BD∥AC,交OA于点D.则OD=.证明:∵BD∥AC,∴=,∴=,∴OD=.【开方】图③和图④中的MN均为.理由:如图3中,BM是直径,BM=a+b,AM=1,AN⊥BM,∵∠M=∠M,∠MAN=∠MNB=90°,∴△MAN∽△MNB,∴=,∴MN2=a+b,∴MN=.如图4中,AB是直径,AB=a+b+1,BM=1,MN⊥AB,由△AMN∽△NMB,∴=,∴MN2=a+b,∴MN=.析,能在头脑里形成生动而清晰的物理情景,找到解决问题的简捷办法,才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

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