采用旋转矢 量法，可直观 地领会简谐振 动表达式中各 个物理量的意 义。
A 的长度
振幅A
ω
M
A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
旋转矢量
x Acos t
返回10
四、简谐振动的能量
k
m
k m
0
x
X
m2 k
势能
Ep
1 kx2 2
1 2
kA2
cos2 ( t
)
动能
Ek
1 mv2 2
1 mkA22A2
2
sin 2
t
E
Ek
Ep
1 kA2 2
1mm 2 A2
2
惯性质量
单摆的能量
LC 电路 的能量
能量随空间变化
能量随时间变化
E
x
E
E
E p Ek
A
Ep
xA
6
a 0.12 2 cos 1.03m / s 2
6
返回10
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
x
At
平衡 位置
A0 At
振幅矢量旋转角度 5 32 6
A0 问题转化为：已知旋转2需要T 时
间，问旋转 5 /6 需要多少时间？
2 5 / 6
T2
t
t 5 0.83s 6
还可以求“第二次……”——旋转角度11 /6
ax
X
X
O
1
2
A1
A2
两个同频率的简谐运动：
相位之差为 采用旋转矢量直观表示为：
(t 2 ) (t 1) 2 1. x2 A2 cos(t 2 ) x1 A1 cos(t 1)
x
A1
t
A2
t
x
A1
A2
同相
t
x
x
A1
A1t A2 t
A2
反相
t
例题1
已知简谐振动表达
x0
mg k
物体受的合力：
x
x0
0
x
FR mg k(x0 x) k x
x 2x 0 2 k g
m x0
T 2
f
mg
x0 g
例、单摆
1、细线质量不计
约 定 2、 50 sin
0
3、阻力不计
质点 m 受力如图重力矩：M mgl sin mgl
l
根据质点的动量距定理 dL M
t
1
0
t
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 A2
a 2 Acos t x(t)
t
1
0
t
2
例：物体的质量为 m , 弹簧的劲
度系数为 k 。其静止变形 x0
手拉物体后无初速地释放，确定物
体的运动规律 。
l0
建立如图坐标系，以平衡位置为坐标 原点。物体坐标为 x , 所受的弹性回 复力为 f 和重力 mg
在平衡位置处 mg k x0 0
研究目的 —— 利用、减弱 或 消除
§2.1 简谐振动
一、描述简谐振动的特征量
质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质 量的物体，称此系统为 弹簧振子。
建 立 如 图的 坐 标系 物 体 质 量 m, 坐 标 x 所 受 回 复 力 为 F.
令 k
m
k
Fm
0
F kx
d2x F m
dt 2
x
X
d2x k x0
dt 2 m
d2x dt 2
2
x
0
此方程的通解为： x A cost
xt A cost
• 物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函 数描述，称之为简谐振动。
上式称之为 简谐 振 动表 达式（简谐函数或振动方程）
d2x dt 2
2
x
0
简谐振动的动力学特征方程
F kx 简谐振动的动力学条件
x Acos(t 2 )
3
试画出振动曲线
x
x
A
2
3
t
0
A(0)
例题2
一质点沿x 轴作简谐运动，A = 0.12 m ，T=2s ，当t = 0
时质点在平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向x 轴正向运动。
求：（1）简谐运动表达式；
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
（3）第一次通过平衡位置的时刻。
dt
T
d 2
dt 2
g
l
0
摆角在作简谐振动
m
0 cos t 0
mg
？ 固有
园频率
g 设初始条件 0 振幅和
l
v0 0 初相=
3. 简谐振动的矢量图示法
旋转矢量:一长度等于振幅A 的矢量 在A纸平面内
绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频 率相等，这个矢量称为旋转矢量。
2
a
d2x dt 2
A 2
cost
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
am cos(t ) x 2
简谐振动的运动学特征方程
三、 振 动 曲 线 旋转矢量
1. 振 动 曲 线
A1 1
x Acos t x(t)
t
0
0.5
1
1.5
2
-A1 1 0
t
2
1 A
v Asin t x(t)
谐振动的特征量
1、 A 振幅
2、 T 周期
1
T
频率
x Acos t Acos (t T )
T 2 2 m
k
2
圆频率又称 固有圆频率
3、 t 相位 初相位
确定物体振动状态的物理量
二 、简谐运动的速度和加速度
xt Acos t
v dx A sint
dt
A cos t
§2-1 简谐振动 §2-2 简谐振动的合成 §2-3 波的描述 §2-4波的衍射和干涉 §2-5声波及超声波的生物效应
广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。
周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次
x(t) x(t T )
振动频率
1
T
机械振动：物体在某一位置附近往复运动
复杂振动 = 若干个简谐振动的合成
x
x
A0
A
t+ 相位
1
t
At
x( t )
0
振幅矢量
1
0
t
2
绕O点以角速度 逆时针旋转的矢量At ，
在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。
v0 O
X
A
X
av,
v0 O
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
A
a t 0
沿X 轴的投 影为简谐运动的速度、
M
加速度表达式。
vx
M 点:vm A am 2 A
X
E p Ek t
胡玉才：e-mail
hyc@
五、阻尼振动 受迫振动 共振
1.阻尼振动
振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下 所作的振动，称为无阻尼自由振动。
在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。
阻尼：消耗振动系统能量的原因。
解： （1） xx 0A.1c2ocsost t
x
x
3
3
＝ 2T?
A/2
t
０
（2）t =T/4 时，质点的位置、速度、加速度；
x 0.12cos t
v
0.12
sin
t
3
a
0.12
2
cos
t
3
3
tT 1 42
x 0.12cos 1.04m
2 3
v 0.12 sin 0.189m / s