4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。

（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a(4) 分离点：1110d 45d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。

2、()()()()11.02*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，45.0131.010011-=-+--=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,23,2131212ππππϕ±±=-+=-+=k mn k a (4) 分离点：1111d 10.1d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)分离角：()() ,23,221212ππππϕ±±=+=+=k lk d 最后，精确地画出根轨迹。

4-3 已知系统的开环传递函数为()()()2*1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。

解：①，首先，由开环环函数可知，n=3，m=0；p 1=0，p 2=p 3=-1。

其次，一连几天实轴上的根轨迹与根轨迹草图。

根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。

渐近线为：320311011-=---=--=∑∑==mn zp ni mj ji σ ()() ππππϕ±±=-+=-+=,331212k mn k a②汇合点为：()1=s N ，()()()s s s s s s s D ++=++=23211 ()0'=s N ；()()()113143'2++=++=s s s s s D()()()()()()01131432''=++=++=-s s s s s N s D s N s D3/11-=s ；12-=s (不合题意舍去)[s ]与虚轴的交点首先，写出闭环系统的牲方程，02*23=+++K s s s ，然后，令s =j ω，并代入特征方程得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0202*3ωωωK j j 解得：01=ω，12=ω，1±=ω；21222*=⨯==ωK所绘根轨迹如下图所示。

4-5 设负反馈系统的开环传递函数为()()(0.011)(0.021)KG s H s s s s =++，① 作出系统准确的根轨迹；②确定使系统临界稳定的开环增益c K ； ③ 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。

解：（1）作出系统准确的根轨迹：10050()()(100)(50)K G s H s s s s ⨯⨯=++；*10050K K =⨯⨯1). 开环极点：1230;100;50P P P ==-=- 2). 实轴上根轨迹 [0，-50]，[-100，-∞]3）渐进线：a σ=(-150)/3=－50 a ϕ=(2k+1)* 1800/3=±600，1800 4）分离点：111010050d d d ++=++ 21233005000021.1378.82d d d d ++==-=-（舍去）5）与虚轴交点：D(s)= 0.0002s 3+0.03s 2+s+K=0图4-5s 3 0.0002 1 s 2 0.03 K s 1 1-K/150 0 s 0 K 根据劳斯判据：1150K->0， K>0 ∴0<K<150 作根轨迹如图4-5所示。

(2）临界稳定的K c =150与虚轴交点由辅助方程20.031500s += 求得170.71s j =±(3)将分离点121.13s =-代入幅值条件：1*1()1()mjj nii s Z K s P ==-=--∏∏*1111|||||50||100|10050i i K s P s s s K =∴=-=++=⨯⨯∏求出临界阻尼比相应的开环增益：21.1328.8778.879.6250100K ⨯⨯==⨯4-6 单位负反馈系统的开环传递函数为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++，试绘制系统的根轨迹图，并确定产生纯虚根1j ±时的z 值和*K 值。

解：系统特征方程2*(10)(20)()0s s s K s z ++++=以1s j =±代入*19930()j K j z --++ ⇒ 6.63z = *19930()j K j z -++-+ *30K =下面作根轨迹：（1）开环极点和零点123410,0,10,20, 6.63P P P P Z ===-=-=- 实轴上的根轨迹：（-10，-6.63），（-∞，-20）（2）渐进线有3条：a σ=(-30+6.63)/(4-1)=－7.79 a ϕ=(2k+1)* 1800/3=±600，1800 作根轨迹如图4-6所示。

4—7设控制系统的开环传递函数如下，试画出参数b 从零变副无穷时的根轨迹图。

图4-6① ()()()()b s s s H s G ++=420 ② ()()()()1030++=s s b s s H s G 。

解：①，首先，写出闭环系统的特征方程，即：()()020442042=++++=+++b bs s s b s s然后，写出以参数K *形式的等效开环传递函数，方法是适当地提取公因式。

如：()()0204412042044222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=++++s s s b s s b bs s s等效开环传递函数为：()()()()()()4242420442j s j s s b s s s b s H s G -++++=+++=其中， n=2，m=1；p 1=-2+j 4，p 2=2-j 4；z =-4，n-m=1。

其次，画实轴上的根轨迹与根轨迹草图。

根据根轨迹草图，需计算闭环根轨迹的渐近线与汇合点，以及与虚轴的交点。

渐近线为：01244242011=-++---=--=∑∑==j j mn zp n i mj ji σ()() πππϕ±=-+=-+=121212k mn k a汇合点为：()()4+=s s N ，()2042++=s s s D ()1'=s N ；()42'+=s s D()()()()()()()()2042042044422''=++-+=---++=-s s s s s s s N s D s N s D0.4721=s (不合题意舍去)；8.4722-=s出射角：()()()()()()153.4359063.4351808 j 4 j 2180j4 2j4 24j4 2180180211111=-+=+∠-++∠+=+++-∠-++-∠+=-∠--∠+=∑∑≠==ni i i m j j p p p z p θ()()()()()()153.4359063.4351808 j 4 j 2180j4 2j4 24j4 2180180212122-=+--=-∠--+∠+=-+--∠-+--∠+=-∠--∠+=∑∑≠==ni i i m j j p p p z p θ４-11已知非最小相位负反馈系统的开环传递函数为(105)()()(1)K s G s H s s s *-=+，试绘制该系统的根轨迹图。

解：将开环传递函数化为零极点形式(2)()()2(1)K s G s H s s s *--=+由于有负号提出，因此按正反馈系统画根轨迹： 1）开环极点：p 1=0，p 2=-1， 开环零点：Z 1=2 2) 实轴上根轨迹［２，∞］；［-１，０］ 3) 根轨迹与实轴交点11121d d d =+-+ 整理得2420d d --=120.45, 4.45d d ∴=-=4）根轨迹与虚轴交点：用s j ω→代入特征方程*(1)(10.5)0j j K j ωωω++-=得到 *2*010.50K K ω⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 求得 *22K ω⎧=⎪⎨=±⎪⎩ 可知Ｓ平面上根轨迹为：圆心+２，半径2.45的圆,根轨迹如图4-11所示。

4-13 负反馈控制系统的开环传递函数为(5)()()(1)(3)K s G s H s s s *+=++，证明系统的根轨迹含有圆弧的分支。

解：１) 开环极点p 1=-1，p 2=-3， 开环零点：Z 1=-5２) 实轴上根轨迹：［-３，-１］；［-５，-∞］３)与实轴交点111135d d d +=+++ 整理得 210170d d ++= 122.172,7.828d d ∴=-=-证明：特征方程为：*(s)=(s+1)(s+3)+k (5)0D s +=图4-11图4-13s j σω→+代入上式，有：*3)(5)0k σωσωσω+++=(+j +1)(+j +j22***435(24)0k k k j σωσσω-+++++++=整理得：（）由 ()Im )0D σω=（+j 得：*24k σ=--。

将其带入Re())0D σω=（+j 中，得到： 2210170σσω+++=，即222522σω++=（）（）上式为圆方程：圆心为（-５，０），半径22R =R ＝2 证明根轨迹含有圆弧分支, 根轨迹如图4-13所示。

4-15 设负反馈系统的开环传递函数为()()(3)(2)K G s H s s s *=++，试绘制系统根轨迹的大致图形。

若系统：①增加一个z ＝-５的零点；②增加一个z ＝-２.５的零点； ③增加一个z ＝-０.５的零点。

试绘制增加零点后系统的根轨迹，并分析增加开环零点后根轨迹的变化规律和对系统性能的影响。

解：１.原系统根轨迹：从开环极点p 1=-2，p 2=-3出发在 2.5s =-处汇合后分离沿与虚轴平行趋向±∞，根轨迹如图4-15(a)所示。