（精品）三垂线法求二面角专题
1、（本小题满分13分）如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，
在△ABE 中，AE=1，BE=3。
（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；
解：（Ⅰ）DA ⊥平面ABE ， ∴DA ⊥BE
△ABE 中，AE=1 BE=3 AB=2 ∴BE ⊥EA
BE ADE BE BCE ⊥⎫∴⇒⎬⊂⎭平面平面平面ADE ⊥平面BCE （注：此题也可证明BCE AE ⊥面，ADE AE ⊂面，从而平面ADE ⊥平面BCE ） （Ⅱ）过点E 作EF ⊥AB 与F
∵DA ⊥平面ABE ∴平面ABCD ⊥平面ABE
∴EF ⊥平面ABCD 过F 作FG ⊥AC 与G ，连EG ，则EG ⊥AC （三垂线定理） ∴∠EGF 为二面角B —AC —E 的平面角。
在Rt △EFG 中 6arctan ,6tan =∠∴==∠EGF GF
EF EGF （注：此题答案还可写成42arcsin 7或者是写成7arccos 7）
2、（本小题满分12分）如图，ABCD 为直角梯形，
90=∠=∠ABC DAB ，1==BC AB ，2=AD ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA 。
⑴、求点P 到CD 的距离；
⑵、求证：平面⊥PAC 平面PCD ；
⑶、求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。
⑴解：取AD 的中点F ，连结CF 。
易证四边形ABCF 是正方形，
∴1==AB CF 又∵2=AD
∴112
CF AD ==，∴CF AF FD == ∴ 90=∠ACD
即CD AC ⊥
∵⊥PA 平面ABCD ∴CD PC ⊥
∴P 到CD 的距离为PC ， 3=PC
⑵证明：∵CD AC ⊥，
A B C D P
G
H F
CD PC ⊥且C PC AC =⋂，
∴⊥CD 平面PAC
又∵CD ⊂平面PCD
∴平面⊥PAC 平面PCD
⑶解：延长DC 交AB 的延长线于G ，连结PG 。
∴平面⋂PAB 平面PG PCD =，
易证⊥DA 平面PAB
过A 作PG AH ⊥，垂足为H ，连结DH ，
得到AHD ∠为所求二面角的平面角 552=AH ，5tan ==∠AH
AD AHD ∴5arctan =∠AHD ∴平面PAB 与平面PCD 所成二面角为5arctan （注：此题答案还可写成30arcsin 6或者是写成6arccos 6
，并且也可用射影面积法求解） 3、（12分）如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面AB CD ，E 为PC 中点。
（1）求证：平面ED B ⊥平面P B C ；
（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。
【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
∴ DE 在平面AB CD 内的射影就是DC 。
在正方形AB CD 中，DC ⊥C B ，
∴ DE ⊥C B 。
又C BC PC =⋂，PC 、PBC BC 面⊂，
∴ DE ⊥PBC 面。
又⊂DE 面ED B ，
∴ 平面ED B ⊥平面P B C 。
（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。
所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的平面角。
∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ，
又平面AB CD 内的直线C B ⊥ DC 。
∴ C B ⊥面PDC 。
又⊂PC 面PDC ，
∴ C B ⊥PC 。
在Rt ECB ∆中，
2tan ==∠CE BC BEC 。
4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿BC 折成直二面角.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；
（2）求二面角A —BD —C 的大小.
解析：（1）证明：取BC 中点E ，连结
AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC
∵平面ABC ⊥平面BCD ，
∴AE ⊥平面BCD ，
∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD .
又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，
∵AB ⊂平面ABD .∴平面ABD ⊥平面ACD .
（2）解：∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于
G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ，
∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角 ∵∠EBG =30°，BE =22m ，∴EG =42
m
又AE =22
m ，∴tan AGE =GE AE =2，∴∠AGE =arctan2.
即二面角A —BD —C 的大小为arctan2.。