北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2012．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=UAB （ ）．A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）． A ．6 B 32C ．32D ． 344．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠等于（ ）．A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ=，a ，2(1,)λ=-b ，(11)=-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若111a dx =x⎰()1a >，则e a =．其中所有的真命题是（ ）．A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数()22,42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[)1,2-B ．[]1,2-C ．[)2.+∞D ．(]1-∞-，8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．A ．1B ．322C ．2D ．3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==， ()1,1,1,,i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4,2,1AB AE EF ===．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．E CBDMAF已知函数()()22ln 0a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()21e 2g a ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，)2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()10F ，的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．已知数列()12:,,,,2n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当()2k n k *∈N 时，()211k k a a --=，令()1nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()23=4n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012．5一、选择题：题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 BBCCBDAD二、填空题：9．1 10．13 11．12 12．323 13． 2**32100,020,,160,20,,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()312(cos21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=． ……10分 所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1(,1]2∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1(,1]2-． ……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()C 84P A +==． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739C C 281()C 843P B ===．答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13． ……8分（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，，． 1221222239C C +C C 1(2)C 21P X ===，1221242439C C +C C 4(3)C 21P X ===，1221262639C C +C C 3(4)C 7P X ===，121839C C 1(5)C 3P X ===． ……11分所以X 的分布列为X 23 45P1214213713X 的数学期望143185234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN AB ∥，又14CM AC =，所以14MN AB =． 又EF AB ∥且14EF AB =， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC ． ……4分（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由已知可得()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．显然()()()102040402AF BC EB ===-，，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，E DCMAFNxzECBDMA Fy由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EAAB A =，所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32y x,z x,=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217cos <,17BC n BC n BC n⋅>==⋅由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217……14分 18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()22210a a f x x x x'=-+>．根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或32a =． ……3分 （Ⅱ）解：()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---． 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a-'=-+⋅-=---，令()0g a '=，得21e 2a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：a21(,e )2-∞-21e 2- 21(e ,0)2- ()g a '+-()g a极大值21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222g a g =-=--⨯---最大值2222131e ln e e e 222=-+=．所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立． ……14分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-，整理得221(2)2x y x +=≠．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． ………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =，解得211212P k y k k k==++． ．………10分当0k >时，因为1222k k +≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2022P y >≥=． ．………12分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[． ．………13分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为10n a a ==，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由12n -个1和12n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前12n -项取1，后12n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下： 假设121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则 21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=． ……13分北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04UA B x x =<≤．故选B ．2．【答案】B【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4z +-==⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故在第二象限．故选B ．3．【答案】C【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32c e a m ===． 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题可知0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，故BAC ∠为钝角，因为313sin 222ABC S AB AC BAC =⇒⋅∠=△， 即13123sin sin 222BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．5．【答案】BBCA【解析】解：可知直线:40l x y -+=，2π222424ρθρρθθ⎫⎛⎫=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即曲线()()22:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211d r -+===+．故选B ．6．【答案】D 【解析】解：()44sin cos f x x x =-()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-22sin cos cos2x x x =-=-，2ππ2T ∴==，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 111ln ln 1e aa dx x a a x===⇒=⎰，命题r 正确． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，直线3与函数23的图象恰有三个公共点，只需m 取值在()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．C (2,2)B (-1,-1)A (-2,-2)yxy=xy=x 2+4x+2y=28．【答案】D【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 2233=，223，其面积可以看成623的正三角形的面积和：2326(33= 故选D ．二、 填空题 9．【答案】1【解析】解：由二项式的定理可知 ()5105252155C C kk kkk k k T axxa x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项455C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．10．【答案】13【解析】解：可列表x1 1 23 5 循环结束y1 23 5 8 z235813故13z =． 故答案为13．11．【答案】12【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域y=x+1y为如图所示的阴影区域，设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，220011212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭．故答案为12．12．【答案】3，233【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，即22222339AB AB CD AB =⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知122333CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==． 故答案为3，233．13．【答案】2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 【解析】解：由题可知当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32162x =-=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．故答案为2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16．14．【答案】16，121n n a n -=++【解析】解：对于第一空，依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，从表格中可以看出：22,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+230(21)(21)(21)3n n --=+++++++230(222)13n n n --=++++-+121n n -=++．故答案为16，121n n a n -=++．。