利用周期性求函数解析式
周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。

今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。

先看例题
例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2
()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式
解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-
我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈
即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<
则有：2
(2)(2)f x k x k -=-
又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=
所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-
一般规律：
区间转移：
将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。

进而求出，该区间上的函数解析式
再看一个例题加深印象
练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝
当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式
首先通过题目条件，证明函数为周期函数
因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数
所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－
又因为(2)()f x f x +=-
所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝
所以函数为周期函数，且周期T =4
因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以
由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-
可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：
1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.
2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.
3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式
练习：
1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2
+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明:f (1)+f (4)=0;
(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；
(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.
答案：
2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(4)=f(4－5)=f(－1),
又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，
解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,
当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,
当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,
当6＜x ≤9时，
1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2
－5. ∴f (x )=⎩⎨
⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。