一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）1．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ，下列表达式正确的是：（ ）A ．2T =B ．2T =C ．T =D ．T =【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即2224m GMm RR Tπ= 解得：2T =① 故B 正确，A 错误； CD. 星球的质量343M ρV πρR ==代入①式可得：T =故C 正确，D 错误．2．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距。

地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示。

已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距离），金星到太阳的平均距离约为0.7天文单位，地内行星与地球可认为在同一平面内的0.8≈0.6≈，则下列说法中正确的是（ ）A ．水星的公转周期为0.4年B ．水星的线速度大约为金星线速度的1.3倍C ．水星两次东大距的间隔时间大约619年 D ．金星两次东大距的间隔时间比水星短 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】A ．行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力，则得2224Mm G m r r Tπ= 可得行星公转周期为32r T GM= 式中M 是太阳的质量，r 是行星的公转轨道半径。

则水星与地球公转周期之比333 040.40.4T r T r ===水水地地．所以水星的公转周期为0.40.4T =水故A 错误B ．由万有引力提供向心力得22Mm v G m r r= 得GMv r=则水星的线速度与金星线速度之比0.71.30.4v rv r==≈水金水金则B正确。

C．设水星两次东大距的间隔时间为t。

则222t tT Tπππ=-水地得10.40.461910.40.4T TtT T⨯==≈--地水地水年年则C正确；D．因金星的周期长，则金星两次东大距的间隔时间比水星长，则D错误。

故选BC。

3．如图所示，卫星在半径为1r的圆轨道上运行速度为1υ，当其运动经过A点时点火加速，使卫星进入椭圆轨道运行，椭圆轨道的远地点B与地心的距离为2r，卫星经过B点的速度为Bυ，若规定无穷远处引力势能为0，则引力势能的表达式pGMmEr=-，其中G 为引力常量，M为中心天体质量，m为卫星的质量，r为两者质心间距，若卫星运动过程中仅受万有引力作用，则下列说法正确的是A．1bυυ<B．卫星在椭圆轨道上A点的加速度小于B点的加速度C．卫星在A点加速后的速度为212112A BGMr rυυ⎛⎫=-+⎪⎝⎭D．卫星从A点运动至B点的最短时间为()3121112r rtrυ+=【答案】AC【解析】【分析】【详解】假设卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度为v 2．由卫星的速度公式GMv r=知，卫星在半径为r 2的圆轨道上运行时速度比卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时速度小，即v 2<v 1．卫星要从椭圆轨道变轨到半径为r 2的圆轨道，在B 点必须加速，则v B <v 2，所以有v B <v 1．故A 正确．由2GMmma r=，可知轨道半径越大，加速度越小，则A B a a >，故B 错误；卫星加速后从A 运动到B 的过程，由机械能守恒定律得，221211()()22A B GMm GMm mv mv r r +-=+- 得212112()A B v GM v r r =-+，故C 正确；设卫星在半径为r 1的圆轨道上运行时周期为T 1，在椭圆轨道运行周期为T 2．根据开普勒第三定律312312212()2r r r T T += 又因为1112r T v π= 卫星从A 点运动至B 点的最短时间为22Tt =，联立解得31211()2r r t v r π+=故D 错误．4．2020年7月21日将发生土星冲日现象，如图所示，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。

此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。

地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约29.5年绕太阳一周。

则（ ）A ．地球绕太阳运转的向心加速度大于土星绕太阳运转的向心加速度B ．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小C ．2019年没有出现土星冲日现象D ．土星冲日现象下一次出现的时间是2021年 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】A ．地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有2224Mm G mr r Tπ= 解得234πr T GM=可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小。

又2MmGma r = 解得221GM a r r =∝ 可知行星的轨道半径越大，加速度越小，则土星的向心加速度小于地球的向心加速度，选项A 正确；B ．由万有引力提供向心力有22Mm v G m r r= 解得GMv r=知土星的运行速度比地球的小，选项B 错误； CD ．设1T =地年，则=29.5T 土年，出现土星冲日现象则有()2πt ωω-⋅=地土得距下一次土星冲日所需时间22 1.0422t T T ππππωω==≈--地土地土年选项C 错误、D 正确。

故选AD 。

5．中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q ，远地点为P 。

当卫星经过P 点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法正确的是（ ）A ．卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B ．卫星在轨道1上运行经过P 点的速度大于经过Q 点的速度C ．卫星在轨道2上时处于超重状态D ．卫星在轨道1上运行经过P 点的加速度等于在轨道2上运行经过P 点的加速度【解析】 【分析】 【详解】A ．卫星在轨道1上运行经过P 点需点火加速进入轨道2，所以卫星在轨道2上的机械能大于轨道1上运动时的机械能，A 错误；B ．P 点是远地点，Q 点是近地点，根据开普勒第二定律可知卫星在轨道1上运行经过P 点的速度小于经过Q 点的速度，B 错误；C ．卫星在轨道2上时处于失重状态，C 错误；D ．根据牛顿第二定律和万有引力定律得2MmGma r = 所以卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于在轨道1上经过P 点的加速度，D 正确。

故选D 。

6．如图所示，A 是静止在赤道上随地球自转的物体，B 、C 是在赤道平面内的两颗人造卫星，B 位于离地面高度等于地球半径的圆形轨道上，C 是地球同步卫星．下列关系正确的是A ．物体A 随地球自转的线速度大于卫星B 的线速度 B ．卫星B 的角速度小于卫星C 的角速度 C ．物体A 随地球自转的周期大于卫星C 的周期D ．物体A 随地球自转的向心加速度小于卫星C 的向心加速度 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据22Mm v G m r r= 知GMrC 的轨道半径大于B 的轨道半径，则B 的线速度大于C 的线速度，A 、C 的角速度相等，根据v=rω知，C 的线速度大于A 的线速度，可知物体A 随地球自转的线速度小于卫星B 的线速度，故A 错误．22MmG mrrω=知3GMrω=因为C的轨道半径大于B的轨道半径，则B的角速度大于C的角速度，故B错误．C．A的周期等于地球的自转周期，C为地球的同步卫星，则C的周期与地球的自转周期相等，所以物体A随地球自转的周期等于卫星C的周期，故C错误．D．因为AC的角速度相同，根据a=rω2知，C的半径大于A的半径，则C的向心加速度大于 A的向心加速度，所以物体A随地球自转的向心加速度小于卫星C的向心加速度，故D 正确．故选D．7．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量为m的星球位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星球的距离均为L，并绕其中心O做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是 ()A．每颗星球做圆周运动的半径都等于LB．每颗星球做圆周运动的加速度与星球的质量无关C．每颗星球做圆周运动的线速度GmvL=D．每颗星球做圆周运动的周期为2LT LGmπ=【答案】C【解析】【分析】【详解】A．三颗星球均绕中心做圆周运动，由几何关系可知r＝2cos30L︒＝33LB．任一星球做圆周运动的向心力由其他两个星球的引力的合力提供，根据平行四边形定则得F＝222GmLcos 30°＝ma解得a＝3Gm B错误；CD．由F＝222GmLcos 30°＝m2vr＝m224Tr得v＝Gm LT＝2πL3LGmC正确，D错误。

故选C。

8．科幻影片《流浪地球》中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道I上运行到远日点P变轨进入圆形轨道II，在圆形轨道II上运行一段时间后在P点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。

对于该过程，下列说法正确的是()A．地球在P点通过向前喷气减速实现由轨道I进入轨道IIB．若地球在I、II轨道上运行的周期分别为T1、T2，则T1<T2，C．地球在轨道I正常运行时(不含变轨时刻)经过P点的加速度比地球在轨道II正常运行(不含变轨时刻)时经过P点的加速度大D．地球在轨道I上过O点的速率比地球在轨道II上过P点的速率小【答案】B【解析】【分析】【详解】A ．地球沿轨道Ⅰ运动至P 点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，A 错误；B ．设地球在Ⅰ、Ⅱ轨道上运行的轨道半径分别为r 1（半长轴）、r 2，由开普勒第三定律33r k T = 可知T 1<T 2B 正确；C ．因为地球只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过P 点，地球的加速度都相同，C 错误；D ．由万有引力提供向心力22GMm v m r r= 可得Gmv r=因此在O 点绕太阳做匀速圆周运动的速度大于轨道II 上过P 的速度，而绕太阳匀速圆周运动的O 点需要加速才能进入轨道Ⅰ，因此可知地球在轨道Ⅰ上过O 点的速率比地球在轨道II 上过P 点的速率大，D 错误。

故选B 。

9．2020年1月7号，通信技术试验卫星五号发射升空，卫星发射时一般需要先到圆轨道1，然后通过变轨进入圆轨道2。

假设卫星在两圆轨道上速率之比v 1∶v 2=5∶3，卫星质量不变，则（ ）A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2时应减速B ．卫星在两圆轨道运行时的角速度大小之比12ωω：=125∶27C ．卫星在1轨道运行时和地球之间的万有引力不变D ．卫星在两圆轨道运行时的动能之比E k1∶E k 2=9∶25 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2，需要做离心运动，所以应加速才能进入2轨道，选项A 错误；B ．根据万有引力提供向心力有22GMm v m r r= 解得GMv r=因为v 1:v 2=5:3，则r 1:r 2=9∶25根据万有引力提供向心力有22GMm mr rω= 解得3=GMr ω 可得卫星在两轨道运行时的角速度大小之比ω1:ω2=125:27选项B 正确；C ．万有引力大小不变，但方向一直变化，选项C 错误；D ．根据212k E mv =，则卫星在两轨道运行时的动能之比 E k1∶E k2=25:9选项D 错误； 故选B 。