收稿日期:2008-12-20基金项目:辽宁省高等学校科学研究项目(20060842)。
作者简介:刘罗曼(1980-),女,辽宁沈阳人,沈阳师范大学教师,硕士。
第27卷 第4期2009年10月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of S henyang N ormal University (Natural Science )Vol .27,No .4Oct .2009文章编号:1673-5862(2009)04-0416-03时间序列分析中指数平滑法的应用刘罗曼(沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳 110034)摘 要:对于平稳时间序列分析,最常采用4种方法即指数平滑法,自回归法,自回归综合移动平均法和季节分解法。
本文通过具体实例分别介绍指数平滑中三种不同方法即Simple 法,Holt法和Winters 法的应用。
它们是分别适用于时间序列数据集无趋势和季节变化,有线性趋势无季节变化和有季节变化的模型分析法。
关 键 词:指数平滑法;Simple 法;Holt 法;W inters 法中图分类号:O 212 文献标识码:A0 引 言时间序列分析是统计学的重要组成部分,其应用遍布经济学,工程学等各个领域。
总体来说时间序列就是依时间顺序取得的观察资料的集合。
这里时间是广义的,对于离散时间序列常采用等时间间隔采集,对于连续时间序列则可以利用相等采样间隔转化成离散时间序列。
而所有时间序列的特点都是数据资料的先后顺序不能随意改动,逐次的观测值通常是不独立的,分析时必须考虑观测资料的时间顺序。
通过时间序列分析找出系统内在统计和发展规律,并运用时间序列模型预测和控制未来。
指数平滑法是一种常用的时间序列分析方法,指数平滑法的估计是非线性的,其目标是使预测值和实测值间的均方差(MSE )最小。
根据对趋势和季节的不同假设选择相应的模型进行平滑处理。
在不同模型中参数取值范围都在0～1之间,调节参数值的大小可得到不同的预测结果,判断预测结果的好坏可参看输出结果中方差(SSE )的大小,方差越小,预测效果越好[1-10]。
1 Simple 法1)Simple 法概述Simple 法是在移动平均法基础上发展而来的一次指数平滑法,它的模型中有一个参数α(从0～1之间取值)。
其计算公式为:F t +1=αX t +(1-α)F t 。
其中,X t 为实际观测值,F t 为预测值。
它体现了对未来的估计。
最近的观测值要比早期的观测值影响更大,在预测时应赋予更大的权数的思想。
根据时间序列系统动态性:F t +1=αX t +(1-α)[αX t -1+(1-α)F t -1]=αX t +α(1-α)X t -1+(1-α)2F t -1=αX t +α(1-α)X t -1+α(1-α)2X t -2+…+α(1-α)N -1X t -(N -1)+α(1-α)NF t -(N -1)可见,每一递推观测值的权数按指数规律递减,故指数平滑因此得名。
由第一个公式可得:F t +1=F i +α(X t -F t )=F t +αe t 。
即t 时间的误差e t 恰好是实际观测值减去预测值。
因此,Simple 法给出的预测值是前一期的预测值加上前一期的预测值中所产生的修正值。
α越接近于1,新的预测值将包括对前一期的预测误差的全部修正值。
反之,则相反。
例1 为某化工厂化工生产过程中每分钟(共120min )的温度读数,要求对第121min 的温度读数作一次平滑预测。
2)生成统计图对本例温度读数形成的时间序列数据作Simple 单线统计图,如图1,观察数据的变化趋势,可见,该时间序列数据无趋势和季节变化。
因此对数据作Simple 法统计分析。
图1 化工生产过程120min 温度曲线图3)Simple 法统计分析模型中当参数α取值0.1时,Simple 法统计分析预测结果达到最小方差为291.67781,此时,第121min 温度的预测结果为23.65254。
2 Holt 法1)Holt 法概述Holt 双参数线性指数平滑法适用于有线性趋势,无季节变化的时间序列预测。
它的模型中有两个不同的参数α,γ(都从0～1之间取值)和3个方程:S t =αX t +(1-α)(S t -1+b t -1);b t =γ(S t -S t -1)+(1-γ)b t -1;F t +m =S t +b t m其中,X t 为实际观测值,b t 为趋势值,S t 为平滑值,F t 为预测值,m 为预测超前期数。
第一个方程式是利用前一期的趋势值b t -1直接修正S t ,即将b t -1加在前一平滑值S t -1上,用来消除滞后,且使S t 值近似达到最新数据值X t 。
第二个方程式用来修正趋势值b t ,趋势值用相邻两次平滑值之差来表示。
第三个方程式用来预测,预测值为平滑值加上趋势值乘以预测超前期数。
例2 为某厂从1977～2000年生产机器的销售量,要求对2002年销售量作一次平滑预测。
2)生成统计图对本例机器销售量形成的时间序列数据作Simple 单线统计图,如图2,观察数据的变化趋势,可见,该时间序列数据有线性趋势,无季节变化。
因此对数据作Holt 法统计分析。
图2 1977～2000年机器销售量曲线图3)Holt 法统计分析模型中当参数α取值0.3,γ取值0.1时,Holt 法统计分析预测结果达到最小方差为5686.33009,此时,2002年机器销售量的预测结果为262.62731万件。
3 Winters 法1)Winters 法概述Winters 线性和季节性指数平滑法适用于对含有季节性因素的时间序列的预测。
模型中有3个参417第4期 刘罗曼:时间序列分析中指数平滑法的应用数α,β,γ(都从0～1之间取值)和4个方程:S t =αX t I t -L+(1-α)(S t -1+b t -1);b t =γ(S t -S t -1)+(1-γ)b t -1;I t =βX t S t+(1-β)I t -l ;F t +m =(S t +b t m )I t -l +M 其中,X t 为含季节性因素的时间序列值,b t 为趋势值,S t 为去除季节性因素的平滑值,L 为季节长度(每年的月数或季数),I 为季节修正系数,最后一个公式用来进行预测。
例3 为按千人计的英国1955～1963年季度失业人数,要求对1964年第三季度失业人数作一次平滑预测。
2)生成统计图对本例失业人数形成的时间序列数据作Simple 单线统计图,如图3,观察数据的变化趋势,可见,该时间序列数据有线性趋势和季节变化。
因此对数据作Winters 法统计分析。
图3 1955～1963年季度人数曲线图3)Winters 法统计分析模型中当参数α取值0.5,β取值0.9,γ取值0.3时,Winters 法统计分析预测结果达到最小方差为314438.31815,此时,1964年第三季度失业人数的预测结果为689.97818千人。
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