何时无穷 多解！ 解之间 的关系 ？
Ax b
第二节 向量间的线性关系
❖ 一、n 维向量 ❖ 二、向量的运算 ❖ 三、线性相关性
强 调向量 组线性 相关定 义的重 要性；
强 调向量 组线性 相关与 齐次线 性方程 组解的 关系 直 至 与 系 数 矩阵秩 的关系
第三节 向量组的秩与最大无关组
❖ 一、向量组的秩 ❖ 二、向量组的等价 ❖ 三、向量组的秩与矩阵秩
戴跃进 蔡丽娟 林玉闽 陈桂芝
4
本书结构
❖ 第一章 矩阵 ❖ 第二章 线性方程组 ❖ 第三章 矩阵的特征值和特征向量 ❖ 第四章 二次型 ❖ 第五章 线性空间
将行列式放在矩阵一章的好处之一：
突 出矩阵 这一符 号在本 课程中 的中心 地位
教学中的 引例： 二元线 性方程 组
aa1211
x1 x1
介绍了矩 阵运算 ，所研 究的问 题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2
L L
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
可表为
Ax b,
其中
A
aij
,x
mn
x1, x2,L
, xn T
,b
b1,b2,L
Ax b
23
,bm T
.
介 绍了矩 阵分块 运算， 问题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2
L L
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
或
Ax b,
可表为
x11 x22 L xnn b,
其中
A 1,2,L ,n .
无解？
有唯一解 ？如何 求解？
何时无穷 多解？ 解之间 的关系 。
再推广：一般n元线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2
L L
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
仍 希望解答的问 题仍然 是：该 方程组 何时
无解？
有唯一解 ？如何 求解？
何时无穷 多解？ 解之间 的关系 。
数 学也是 一门符 号的艺 术，问 题不同 符号不 同
问题：
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 L a2n xn b2 ,
L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm.
编写线性代数教材的初衷
目前我校线性代数选材情况
❖ 经管类
❖ 高等学校经济管理学科数学基础
❖ 《线性代数》中国人民大学 卢刚主编，高等教育
出版社
❖ 理工类
❖ 工科数学
❖ 《线性代数》同济大学，高教出版社
线性代数管理情况
❖ 秋季开课分为： ❖ 第一类 64课时；48课时 ❖ 第二类 32课时 ❖ 考试：期中、期末统一考试，统一改卷。
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
几何意义 ：
无解
唯一解
无穷多解
推广：n元线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1,
a21x1
a22 x2L Lຫໍສະໝຸດ a2n xnb2 ,
an1x1 an2 x2 L ann xn bn.
希望解答 的问题 仍然是 ：该方 程组何 时
的关系
可 以通过 例子说 明：
最 大 无 关 组 的存在 性，不 唯一性 。
秩 唯一吗 ？
用 向 量 组 间 的关系 来论述 秩的唯 一性
第四节 线性方程组解的结构
❖ 一、齐次线性方程组解的 结构
❖ 二、非齐次线性方程组解 的结构
已经得到 问题：
何时 无解！ 有唯一解 ！如何 求解！
何时无穷 多解！ 解之间 的关系 ！
例如 计 算机能 够表示 的最小 的正数
0.1
A
0.1
O
0.11000
det A 101000.
%计算机可以表示的最小的正实数
x=1; while x+x>x
x=x/2 pause(.02) end
4.9410324.
第一章 矩阵
❖ 第一节 矩阵的概念 ❖ 第二节 矩阵的运算 ❖ 第三节 矩阵的分块 ❖ 第四节 矩阵的行列式 ❖ 第五节 可逆矩阵 ❖ 第六节 矩阵的秩 ❖ 第七节 矩阵的初等变换
进一步引 入：
aa1211
a1a112 a2a122
aL12 aL22
L ML OM am1 aam1m2 aLm2
La1n aL2n OL
a1nx1 b1 ,aM2nxM2 b,M2 .
b1
b2
M
.
aLmn amnxn bm bm
将行列式放在矩阵一章的好处之二：
行 列式对 矩阵计 算几乎 没有价 值
关于第二章 线性方程组的编写
内 容是全 书最难 理解的 。 编 写的准 则是不 求最简 ，只求 容易接 受
第二章 线性方程组
❖ 第一节 线性方程组 ❖ 一、克拉默(Cramer)法则 ❖ 二、线性方程组的消元法
再回头看 一下我 们讨论 的问题 ：
已经解决 的问题 ：该方 程组何 时 无解！ 有唯一解 ！如何 求解！