(2) 利用反证法可证得，即假设1,2 ,, s 线性无关，再由（1）得 1, 2 ,, s 线性无 关，与 1, 2 ,, s 线性相关矛盾.
9. 证明：1 2 ,2 3,3 1 线性无关的充分必要条件是1,2 ,3 线性无关.
1 0 1 证：方法 1，（1 2 ,2 3,3 1 ）=（1,2 ,3 ） 1 1 0
(k1 k3 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 0
因为1,2 ,3 线性无关，所以
kk11
k3 k2
0 0
，可解得 k1
k2
k3
0 ，所以1
2 , 2
3 ,3
1 线性无关.
k2 k3 0
必要性，（方法 1）设1 2 ,2 3,3 1 线性无关，证明1,2 ,3 线性无关，
所以
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 44Βιβλιοθήκη .设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 2k2 k3 0 ， k1 k2 k3 k4 0 ，
3k2 k4 0 ， k1 k2 k4 1 .
解得 k1 1, k2 0, k3 1, k4 0. 所以 1 3 .
0 1 1 101 因为 1,2,3 线性无关，且 1 1 0 2 0 ，可得 1 2,2 3,3 1的秩为 3 011 所以1 2 ,2 3,3 1 线性无关.线性无关；反之也成立.
方法 2，充分性，设1,2 ,3 线性无关，证明1 2 ,2 3,3 1 线性无关.
设存在 k1, k2 , k3 使得 k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0 ，整理得，
判断 3，4 题中的向量组的线性相关性：
3. 1 1,1,1T ,2 0,2,5T ,3 1,3,6T.
4. 1 (1,1,2,4)T , 2 0,3,1,2T，3 3,0,7,14T.
解：
3.设存在 k1, k2 , k3 使得 k11 k2 2 k3 3 0 ，即
k1 k1
第三章 课后习题及解答
将 1，2 题中的向量 表示成1,2 ,3,4 的线性组合：
1． 1,2,1,1T ,1 1,1,1,1T ,2 1,1,1,1T ,3 1,1,1,1T ,4 1,1,1,1T. 2． 0,0,0,1,1 1,1,0,1,2 2,1,3,1,3 1,1,0,0,4 0,1,1,1.
假设1,2 ,3 线性相关，则1,2 ,3 中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨 设 1可由2 ,3 线性表示，则向量组 1 2 ,2 3,3 1 可由 2 ,3 线性表示，且 3 2 ，所以1 2 ,2 3,3 1 线性相关，与1 2 ,2 3,3 1 线性无关矛 盾，故1,2 ,3 线性无关.
k3 0 2k2 3k3
0
1 ，由 1
0 2
1 3 0 ，解得 k1, k2 , k3 不全为零，
k1 5k2 6k3 0
15 6
故1,2 ,3 线性相关.
4.设存在 k1, k2 , k3 使得 k11 k2 2 k33 0 ，即
k1 3k3 0
k1
2k1
3k2 k2
解：设存在 k1, k2 , k3 , k4 使得 k11 k2 2 k3 3 k4 4 ，整理得
k1 k2 k3 k4 1
k1 k2 k3 k4 2
k1 k2 k3 k4 1
k1 k2 k3 k4 1
解得 k1
5 4 ,k2
1 4 ,k3
1 4 ,k4
1. 4
aks
1, 2 ,, s 是分别在1,2 ,, s 的 k 个分量后任意添加 m 个分量 b1 j , b2 j ,, bmj
( j 1,2,, s) 所组成的 k m 维向量，证明：
(1) 若1,2 ,, s 线性无关，则 1, 2 ,, s 线性无关； (2) 若 1, 2 ,, s 线性相关，则1,2 ,, s 线性相关.
证：方法一，设存在 k1, k2 使得 k1 (1 2 ) k2 (1 2 ) 0 ，
整理得， (k1 k2 )1 (k1 k2 ) 2 0 ，
因为
1
,
2
线性无关，所以
k1 k1
k2 k2
0 0 ，可解得 k1
k2
0，
故1 2 ,1 2 线性无关.
方法二，因为（1 2 ,1 2）（1,2）11 11 ，
证：证法 1，(1)设 A 1,2 ,,s ， B 1, 2 ,, s ，因为1,2 ,,s 线性无
关，所以齐次线性方程 AX 0 只有零解，即 r( A) s, 且 r(B) s ， 1, 2 ,, s 线性
无关.
证法 2，因为 1,2 ,, s 线性无关，所以齐次线性方程 AX 0 只有零解，再增加方程 的个数，得 BX 0 ，该方程也只有零解，所以 1, 2 ,, s 线性无关.
6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.
证：设向量组1,2 ,,n1,n 线性无关，利用反证法，
假设存在该向量组的某一部分组i1 ,i2 ,,ir (ir n) 线性相关，
则向量组1,2 ,,n1,n 线性相关，与向量组1,2 ,,n1,n 线性无关矛盾，
所以该命题成立.
7.证明：若1,2 线性无关，则1 2 ,1 2 也线性无关.
0 7k3
0
可解得 k1, k2 , k3 不全为零，故 1, 2 , 3 线性相关.
4k1 2k2 14k3 0
5.论述单个向量 （a1, a2 ,, an）线性相关和线性无关的条件.
解：设存在 k 使得 k 0 ，若 0 ，要使 k 0 ，当且仅当 k 0 ，故，单个向量线 性无关的充要条件是 0 ；相反，单个向量 （a1, a2 ,, an）线性相关的充要条件是 0.
1
又因为
1
1 1
2
0
，且 1 , 2
线性无关，所以向量组 1
2 ,1
2
的秩为
2，
故1 2 ,1 2 线性无关.
8.设有两个向量组1,2 ,, s 和 1, 2 ,, s , 其中
a11
a12
a1s
a21
a22
a2s
1
a31
,
2
a32
,
, s
a3s
,
a
k1
aks