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去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1.利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩,有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩
;|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩

2.利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解,如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<-c ;|ax b +|<c 可化为-c <ax +b <c ,再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或-b ≤x ≤-a ”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3.利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用|x |2=2
x 可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4.利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法,是指:若数1x ,2x ,……,n x 分别使含有|x -1x |,|x -2x |,……,|x -n x |的代数式中相应绝对值为零,称1x ,2x ,……,n x 为相应绝对值的零点,零点1x ,2x ,……,n x 将数轴分为m +1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。

5.利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。

数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。

对||||ax b cx d m +++>(或<m ),当|a |≠|c |时一般不用。

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