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2.1.3 任意时刻的年金值
1
1
…
…
… 1 …
1
（共 n 次付款）
an an
sn
sn
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
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1 0 1 2
1 3
1 4
1 5
1 6 7 8 9 10
a5
a5
s5
s5
图（2-7） 年金时间图
V(1)= a5 ；V(2)= a5 ； V(6)= s5 ；V(7)= s5 。
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额) n（时间）
n-2 n-1
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
an i
Page 7
sn i
2.1.1期末付年金
1 0 1
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额)
ani
sni
n-2 n-1
n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
an v v 2 1 ian v n
本金 利息流
d 1
d 2
d 3
…
…
d
d n
n-2 n-1
时间
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
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2.1.2期初付年金
显然，an 与an ; sn 与sn 之间存在一定的联系。 an =1+v+v
2
v
n 1
v v2 v
vn

an v
an (1 v)
n n
ani
sni
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2.1.1期末付年金
例2.1 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值 及其累积值。
例2.2 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利 为0.5%的情况下，每月末存入多少钱，才能达到要求。
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(2-18)
i≈2(n-k)/[n(n+1)]
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2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,可以通过级数展开的方式求解。
n 1 n 1 2 1 1 i i = (1 2 12 an n
2
)
(2-19)
1 1 1 n 1 i) = ≈ (1 k an n 2
i≈2(n-k)/[k(n+1)]
(2-20)
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2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,还可以通过迭代法求解。（精度高）
sn i =k
(1 is )n 1 kis is+1=is 1 n 1 (1 is ) [1 is (n 1)] 1
第二章 年金
深圳大学经济学院
Economics school Shenzhen university
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第一节 基本年金
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年金的定义
• 所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。
• 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列 付款。
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n n v (1 v ) 1 v vn 1 v i
经济解释
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2.1.1期末付年金
1 0 1
1 2
1 … 3 …
1
1
1 (付款额)
ani
sni
n-2 n-1
n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
sn 1 (1 i) (1 i) n 1 isn
（7）2060年1月1日。
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2.1.4 永续年金
v v 1 a v v 1 v iv i 也可通过极限方式求得：
2
1 vn 1 a = lim an lim n n i i 相应的： a =1+v v
2
1 = d
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(2-16)
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2.1.5 年金的未知时间问题
上浮支付 精确支付 扣减式付款
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2.1.5 年金的未知时间问题
例2.7 某人借款50000用于购房，并计划每年年末还款10000，知道还完， 若按利率7%计算，求该借款人还款的整数次n以及最后的还款零头。零头 的还款时间分别为：
汉英名词对照
年金 支付期 延付年金 初付年金
Annuity
Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity
永久年金
变额年金 递增年金 递减年金
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Varying annuity
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2.1.5 年金的非标准期问题
ank
•整个付款期为n+k,0<k<1.前n期个期期末付款额为1，在 时刻n+k有个零头支付。
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2.1.5 年金的非标准期问题
ank
1 v nk = i
1 v n v n v nk = i
k (1 i ) 1 nk ] = an + v [ i
2.1.1期末付年金
例2.4 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款1000元，期限为5年，计算下 面的三种还款方式中利息所占的额度。 （1）贷款的本金和利息累积值在第5年末一次还清；
（2）每年末致富贷款利息，第5年末归还本金；
（3）贷款每年年末均衡偿还。
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2.1.2期初付年金
(2-21A)
an i =k：
1 (1 is ) n kis is+1=is 1 n 1 1 (1 is ) [1 is (n 1)]
(2-21B)
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2.1.6年金的未知利率问题
对于n值较大的年金未知利率问题,还可 以通过迭代法求解。（精度高）
（1）与最后一次规则还款时间相同，即在时刻n; （2）在n~n+1中间的准确时间 （3）在最后一次规则还款的下一期，即在时刻n+1
-8 某人拟每年年末在银行存款1000元，以便在某年年末积累10000元的 存款，设年利率为4%，若需要零头存款则发生在最后一次规则存款的下一 期，计算有规则的存款次数和零头存款额。
n n 1 (1 i ) (1 i ) 1 n 1 (1 i) 1 (1 i) i
经济解释
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2.1.1期末付年金
an 与sn 之间的关系 an v v
2
1 i 1 i
n
an 1 i v v 2
Increasing annuity Decreasing annuity
年金的分类
分类1
– 基本年金 • 等时间间隔付款
• 付款频率与利息转换频率一致
• 每次付款金额恒定 – 一般年金 • 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
分类2
– 付款时刻不同：初付年金/延付年金 – 付款期限不同：有限年金/永久年金
2 n 1
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2.1.2期初付年金
1 d 0 本金支出 1
1 vn an , 故有： d dan 1 v n； 1=dan +v n (1 i ) n 1 sn ，有 d (1 i ) n =dsn 1 sn an (1 i ) n 1 1 d an sn
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金 延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
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2.1.1期末付年金
1 0 1
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2.1.3 任意时刻的年金值
例 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价 值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日；
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假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的 值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期） ，则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数； （2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ； （3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；