1.已知A （t ）=2t+t +5,求（1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=()(0)A t A =25t+5t+1（2）I 3；I 3=A(3)-A(2)=2*3+3+5-(2*2+2+5)=2+32-（3）i 4; i 4=4(4)(3)2*445(2*335)43(3)(3)113113I A A A A -++-++-===++2.证明：（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ （2）()(1)(1).A n in A n =+-（1）()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ （m<n ） (2)()()()()111---=-=n A n A n A n A In i n(1)()(1)inA n A n A n -=--()(1)(1A n i n A n =+-3.(a)若k i是时期k 的单利利率（k=1,2...,n ）证明a(n)-a(0)=12...n i i i +++(b)若k i是时期k 的复利利率（k=1,2....,n ）证明12()(0)....n A n A I I I -=+++（a ）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=11.....n n i i i -+++（b ）11()(0)()(1)(1)(2)...(1)(0)...n n A n A A n A n A n A n A A I I I --=--+---++-=+++4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。
试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。
①单利 ()1a t it =+ 3(3)(0)500(13*1)120I A A i =-=+-=1200.08150*3i == (5)800(15*0.08)1120A =+=②复利 ()(1)t a t i =+ 33(3)(0)500(1)1120I A A i ⎡⎤=-=+-=⎣⎦31.241i =-55/3(5)800(1)800*1.241144.97A i =+==元5.已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1i=10%，第二年的利率为2i =8%，第三年的利率为3i =6%，求该笔投资的原始金额 123(3)(0)(1)(1)(1)A A i i i =+++123(3)1000(0)794.10(1)(1)(1)1.1*1.08*1.06A A i i i ===+++ 6.证明：设当前所处时刻为0，则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2过去n 期1元钱的现值为(1)n i +，未来n 期后一元钱的现值为1(1)ni + 1(1)2(1)n ni i ++≥+ （当n=0时，等号成立）7.（1）对于8%的复利，确定4d ； （2）对于8%的单利，确定4d ；（1）()(18%)t a t =+ 43444(18%)(18%)110.074(4) 1.08(18%)I d a +-+===-=+（2）4418%*418%*38%0.061(4)18%*4 1.32I d a +--====+8.已知(5)()(6)151()16m i i m i ++=+，确定m (5)()(6)151()16m i i m i ++=+ (5)5*5()5630(6)6*6(1)51(1)(1)(1)(1)6mm m m m m m i i i i i m i-++=+==+=++ 30m ∴=9.如果2()ttc t A t ka bd =，其中k,a,b,c,d 为常数，求&t 的表达式2()tt ct A t ka b d =2222ln 2ln ln ln '()&ln 2ln ln ln ()t t ttt c t c t c t t t t tt t c t ka b d a kta b d b kc a b d d c A t a t b c d c A t ka b d++===++10.确定下列导数：（a ）t d d d ； （b ） d d i d ； （c ）v d d σ（d ）d d d σ。
解：（a ）2211()1(1)(1)i i d d i i i d d d i i i +-===+++（b ）2211()1(1)(1)d d d d d d d i d d d d d -+===--- （c ）1()vv d d Inv d d v σ=-=-（d ）(1)d d d e e d d σσσσ--=-=11.用级数展开形式确定下列各项： （a ）i 作为d 的函数； （b ）d 作为i 的函数； （c ）()m i作为i 的函数；（d ）v 作为σ的函数； （e ）σ作为d 的函数。
解：（a ）21n di d d d d ==++⋯⋯++⋯⋯- （b ）23()1n id i i i i i ==-+-+⋯⋯+-+⋯⋯+（c ）1(1)m m i i m +=+ 1()232311111(1)(1)(2)11(1)(2)(1)(1)2!3!2!3!m mm m m m m m m m i m i m m i i i m i i i m m m ------=+-=++++-=-++（d ）2323()()1()12!3!2!3!v eσσσσσσσ---==+-+++=-+-+（e ）[]2342341()(11()()1234234d d d d d d In In d d d d σ⎡⎤-==-++-=---+-+=++++⎢⎥-⎣⎦12.若1t st sp re σ=++，证明：1211111t tt v v a r r =+++，其中：()1P S v e -+= 2Pv e -=º证明：()()t t t d In a d σ=t a =e 0()1t t st s p d re ++⎰ ⇒()()1()1p s t t st r a e re ++=+ ()()121111;11111st p s t p s t pt t ttre r r e e e v v a r r r r r -+-+-+==+=++++++()1P S v e -+= 2Pv e -=13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t 时的利息力为t σ=（3+2t ）/50，其中t 为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。
解：t σ=1000e 11/2t dt σ⎰=1000e 11/23250tdt +⎰=1046.027914.基金A 以每月计息一次的名义利率12%积累，基金B 以利息强度t σ=t/6积累，在时刻t=0时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。
解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为1，两基金金额相等的下一刻为t 。
A s =1212%(1)12t +B S = e 06t tt d ⎰ A S =B S 121.01t =e 212tt=1.4328 15.基金X 中的投资以利息力t σ=0.01t+0.1 （020t ≤≤）积累；基金Y 中的钱以实际利率i 积累，现分别投资1元与基金X 、Y 中，在第20年末，它们的积累值相同，求在第3年末基金Y 的积累值。
解：(20)x S =e 200(0.010.1)t t d +⎰=4eY S （20）= 20(1)i +(20)(20X YS S = 420(1)e i =+3(3)(1)1.8221YS i =+=16.一投资者投资100元与基金X 中，同时投资100元于基金Y 中，基金Y 以复利计息，年利率j>0，基金X 以单利计息，年利率为1.05j ，在第二年末，两基金中的金额相等。
求第五年末基金Y 中的金额。
解：(2)X S =e 200(0.010.1)t dt +⎰=4e 2(2)100(1)yS j =+(2)(2)x y S S =0.1j =55(15)100(1)100(10.1)161.051y S i =+=+=元17.两项基金X 和Y 以相同金额开始，且有： （1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的年名义利率j 计息； （3）在第8 年末，基金X 中的金额是Y 中的1.05倍。
求j 。
解：(8)x S =e 80.405%t d e =⎰ 16(8)(1/2)yS j =+(8) 1.05(8)x y S S =0.04439j =。