1•已知 A (t ) =2t+ f +5,求
A(t) 2
,t t ------
(1) 对应的 a (t ); A ( 0) =5 a (t ) = A(0) = 5 + 5 +1
I4
A ⑷- A(3) 2*4 .4 5 - (2*3
.3 5) 4-、3
(3) i 4； i 4= A (3) -
A(3) 一
113
一11、,3
2•证明：(1) A(n)-A(m)=l(m 1) l(m 2)
••…In
(2)
A(n) =(1 in)A(n -1).
(1)
A(n) _A(m) =A(n) _A(n -1) A(n -1) _A(n -2) ..••A(m 1)_A(m) = In In -1 ... Im 1 (m<n )
In An -A n -1
A n -1 一 A n -1 A( n)= (1 i n )A(n 1
3.(a)若 i k 是时期 k 的单利利率(k=1,2...,n )证明 a(n)-a(O)= »
i 2
... i n
(b) 若 i k 是时期 k 的复利利率(k=1,2....,n )证明 A(n) - A(0) = h T2 • .... • In
i + i ” + + i«
(a)
a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)= i n
i
n ^ ..…i 1
(b)
A(n) -A(0) =A(n)-A(n-1) A(n-1)-A(n-2) ... A(1) - A(0)=人 1心 …」
4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。
试分别确定以相同的单利利息，复利利息投 资800元在5年后
的积累值。
①单利
a(t) =1 it 丨3
二 A(3)— A( 0)
500(1 i 3* =1)
1 20
120
i
0.08
150*3
A(5) =800(1 5*0.08) = 1120
②复利
a(t)二(1 i t )
l 3 二 A3 卜 A(0)
500 『1 - 尸 1
1 2 0
i =3.1.24 -1
A(5尸 800015=) 8 0 0*佯.24 元 144. 9 7
5.已知某笔投资在三年后的积累值为
1000元，第一年的利率为i 1 =10%，第二年的利率为
(2) I 3; I 3=A(3)-A(2)=2*3+
'、
3
+5-(2*2+
■ 2 +5)=2+
(2) i n
inA(n -1) =A(n) - A(n -1)
i 2
=8%，第三年的利率为i 3=6%，求该笔投资的原始金额
A(3) = A(0)(1 i i )(1 i 2)(1 i 3)
6证明：设当前所处时刻为
0,则过去n 期的一元钱的现值与未来
n 期后的一元钱的现值之
和大于等于2
1
过去n 期1元钱的现值为(1 i ^，未来n 期后一元钱的现值为(1 i)A
1
(1 - i)n ―-2
(1
(当n=0时，等号成立)
二 m = 30
..c?
9. 如果
A
⑴- ka b
d ，其中k,a,b,c,d 为常数，求
t t 2 c 1
A(t) =ka b d
&t 二他二kat bF lna 2昭心［血 kcQbSmdSc =飢 2tl nb E In d In c t A(t) k a t b t d c
10. 确定下列导数:
A(0)=
A(3)
(1 i i )(1i 2
1 000
)(13
= 79 4. 1 0
1. 1*1.08*1.06
7.( 1)对于8%的复利，确定
d 4 ； (2)对于8%的单利，确定
d 4 ；
(1)a(t) =(1 8%)
t d 4
I 4
(1 8%)4 -(1 8%)3
4
(1 8%)
-1
1
0.074 1.08
d 4
(2)
I 4 a(4)
1 8%*4 -1 一8%*3
1 8% *4
8% 0.061
1.32
8•已知
i (m) 1 ——
m
・(m)
I m
.(5)
5
)
i
6
，确定m
•(5)
1 i 十 1
-J5_)
■ (6)
丿
L_ 6
i (m) 1 i =(1
— m
j (5)5*m (1 • ) 5
5
.(6)
(1
m m m
=
(1 - i)?_6 = (1 f 6*
)6
t t 2
&t 的表达式
d 1
= (-1 nv) =■- d v v
(1
(d)
11. 用级数展开形式确定下列各项:
（a ） i 作为d 的函数； （b ） d 作为i 的函数；
・（m ）
（c ） i 作为i 的函数； （d ） v 作为二的函数； （e ） 匚作为d 的函数。
d I i i 2 -i ‘ ……(-i)n (b)
1
i
・m
1 i =(1
—)m
(C)
m
s st
1 re
(a )
解：（a ）
(b)
d .
d
i
d d d d
Ai
d d ；
、1 i -i
d
(
rd ) =
d
(c ) d v
_ 1 2
(1 i)2
1 -d d 2-
(1-d)
1 2
(1 -d)
(d )
(c ) d
d v
解：（a ）
1-d
d n
1 1 i (m)
二m(1 i)m
-m 二m(1 •
m
_1)
m m j 2
2!
_2)
3!
—「"川［⑷“
m -1.2 i 2!m
(d)
-e —1 (Y ) ( U 2! 3! min =1 一二
(e )
二—ln(1
+
川川川川
12.若
t=1.4328
S X (20>S Y (20
e 4 =(1 i
f 0
0(3尸(1i 3 ) 1. 822 1
16.一投资者投资100元与基金X 中，同时投资 利率j>0,基金X 以单利计息，年利率为 五年末基金Y 中的金额。
证明：a t
1
丄v ；丄
1 r 1 r
其中. > /、 I
_P
V 2 乂。
证明:
-n(%))
d
t
a t
t
(
P
e
a (t)』s)t (^-^)
= 1 re
a t
st 1 re e 4p st
1 r
丄e-p st).丄尹
1 r
1 r
v ；-- 1 r 1 r
V 1 心
P S)
13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t 时的利息力为 :匚t
t
=(3+2t )
/50 ,其中t 为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在 1985年1月1日的积累值。
1
1
3+2t dt
解：'t =1000e 1/2 "dt 日。
© 1/2 =1046.0279
1/2 14.基金A 以每月计息一次的名义利率 12%R 累，基金B 以利息强度 7=t/6积累，在时刻t=0
时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。
解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为
1,两基金金额相等的下一刻为
t o
空)12t
12
S B _
t 2
S A = S B 1.0112t =e 石
15•基金X 中的投资以利息力 7=0.01t+0.1
（0乞t 乞20）积累；基金丫中的钱以实际利率
i 积累，现分别投资1元与基金X 、Y 中，在第 基金Y 的积累值。
20年末，它们的积累值相同，求在第
3年末
解: S x (20)
20
(0.01t 0.1)d t e
4
e 0
=
色（20）
(1 i)20
100元于基金Y 中，基金Y 以复利计息，年
1.05j ，在第二年末，两基金中的金额相等。
求第
20
S x (2)二 S y (2)
S y (15) =100(1 i)5 =100(1
0.1)5 17•两项基金X 和Y 以相同金额开始，且有：
(1) 基金X 以利息强度5%计息； (2)
基金Y 以
每半年计息一次的年名义利率
j 计息；
(3) 在第8年末，基金X 中的金额是Y 中的1.05倍。
求j 。
8
解: S x (8)二e 05%4 乂0"
S y (8)=(1 j/2)16
S x (8) =1.05S y (8)
j =0.04439
解:
SJ2)飞 o (°.°牡 °.1)dt
=e 4
2
S y (2) =100(1 j)
= 161.051。