经典霍尔效应
长条形导体:
电流密度: 横向电场:
j x nev
E y vB
电阻率与磁场成正比
霍尔电阻率: H
Ey
j x B ne
经典霍尔效应
根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一 段时间t内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为
v d eE m
A ( B y , 0, 0)
波函数为(因为H中不显含x, z)
i ( x , y , z ) ( y ) exp[ ( p x x p z z )]
根据薛定谔方程可求得电子的能量为
En (n 1 ) c p z 2m S z B 2
2
或
En (n 1 ) c 2
如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可 以用单粒子近似很好地描述，其物理图像 已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深 入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是 高迁移率的样品在更低的温度下才能观察 到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中 的电子强关联系统，因为要解释分数量子 霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理 论上提出了一类全新的问题。
两种状态: 扩展态 和 局域态
只有扩展态可以传导霍尔电流 (0度下), 因此若扩展态的占据数不 变, 则霍尔电流不变. 当Fermi能级 位于能隙中时, 出现霍尔平台.
Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于规范变换 证明, 只要第 i 个扩展态占满, 则霍尔电阻由下式精 确给出 R h
c eB m
0 e n m
2
其中
(回旋频率) (经典电导率)
由此易得
xx yy 1 0 xy yx = c 0
电导率与电阻率的关系为

xx

yy
0 (1 c )
2 2 yx
量子霍尔效应（试用版）
童国平
浙江师范大学数理信息学院
内容提要
• 引言 • 经典Hall效应 • 电子的Landau能级 • 磁通量子化 • 整数量子Hall效应(IQHE) • 分数量子Hall效应(FQHE) • 展望
引言
(1985年第一次诺贝奖)
1930年, Landau 证明量子力学下电 子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的 量子化导致磁化率随磁场的倒数周期 变化.
1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度 描述。 1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础 上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变 化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方 法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在 无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有金 属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成立 。 负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。 事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时 发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系 统应有扩展态，否则σ=0了。
• 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数 量子数的霍尔平台, 一年后, ughlin给 出了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出 了很好的解释. • 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔 琦和Robert Laughlin, 以表彰他们发现分数 量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深 刻理解.
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在xy平面内单位面积态之数目为 n B eB h 对于某一个Landau能级, 在y方向的平衡位置数目也由n B 决定, 故能级的简并度是 n B .
磁通量子化
选标量函数仅依赖方位角
( )
2

2 R
rR
A 0 exp i 0
• 从紧束缚近似提供的能带图像不难理解， 在能带中心附近的态应该保持扩展态，至 少对不是非常强的无序系统来说应该成立； 在能带边缘的那些态是局域态。 • 1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过 渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概 念。 • 莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电 导率的突变，即从局域态的σmin=0到扩展 态σmin≠0的突变.
H
e i
2
霍尔平台是怎样产生的?
无序引起的金属—绝缘体相变问题
朗道的费米液体理论，实质上说的是库仑相互作 用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属—金属 无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑 相互作用可能导致金属—绝缘体的相变。 那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出 在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金 属—绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意， 因为结论似乎是在意料之中的。
量子霍尔效应
• Stormer, Horst L. • Email:
horst@
• Telephone: (212)854-3279
量子霍尔效应
• DANIEL C. TSUI, 崔琦 Professor • Room B-426, Engineering Quadrangle • Carol Agans, Administrative Assistant • 609-258-3217 • Connie Brown, Assistant • 609-258-4641 • 609-258-6279 (f)
整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件 上作出的，这是一个2维有边界的现象。所 谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定 的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本 身就是一个新问题。在这一方面，一些形 式上拓扑问题的研究固然重要，但可能还 只是问题的第一步，真正的物理还在于考 虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问 题。

有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的 Langevin方程为
vd e m ( E vd B ) vd

稳态时, 面内
j n ev d
, 假定磁场沿z方向, 在xy 平
0 E x c j y j x 0 E y c j x j y
• 实验条件
1. 极低温(1.5K) 2. 强磁场(18T) 3. 比较纯的样品
• 实验装置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1. 霍尔电阻有台阶
2. 台阶处纵向电阻为零.
3. 台阶高度为 h ie 2 , i 为整数, 对应于占满第 i 个Landau能级, 精度大约为5ppm.
由于杂质的作用, Landau能级 的态密度将展宽(如下图).
然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导 仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为 局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能 级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域 态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林(Laughlin)又 提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电 荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉 格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而 作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边 界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元 激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在 有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反 对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效 应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。
1 L A d l R
作规范变换,并选取
A A A
若波函数描述延展态,则方位 角可以取任意值. 若满足周期性,则 单值性要求:
0 m , m 0, 1, 2, ...
ex p ie
由此, 当
xx
0 时,
jx
xy
Ey
,
xy
为霍尔电导
H xy n e B
电子在均匀磁场中运动的Landau能级
由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为
H 1 2m [( p x eB y ) p y p z ] S z B
2 2 2
这里选择矢量势
MOSFET 的电子能级结构
2, 超晶格 例: GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构 电子密度: 10 11 cm -2
3, 液氦表面
液氦表面有一 个超过1eV的势垒, 阻止电子透射到液 氦中去,而镜象电 荷(+e)势又吸引电 子于表面.电子密 度:
1 0 cm
9 -2
整数量子Hall效应(IQHE)
应用:
1. 1990年起, 国际电阻标准为:
h e 2 5 8 1 2 .8 0 6
2
精度
2
2 10
8
1克 利 青 电 阻 h 4 e 6 4 5 3 .2 0 1 5
2. 精细结构常数 精度
0 .3 p p m
分数量子霍尔效应
整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦 (Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特 (Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)， 这就提出了更深层的问题。他们在GaAs— AlGaAs异质结上观察到，上述 H 的表示式中M 为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化， 温度更低(～1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条 件下进行的。此后的大量实验却发现M=p/q，p 是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。 1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。
xy

0 c (1 c )
2 2
xx xx ( xx xy ), xy xy ( xx xy )
2 2 2 2
xy 0 如果 另一方面
, 则当
xx
0 时,
xx 也为0.