u1 u2 u3 ... un ... 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 un ， n1
即 （2）级数 n 项和的收敛与发散
，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项。
求（常数项）级数的前 n 项的和 Sn u1 u2 u3 ... un ui ，Sn 称为级数的部分 i 1
n1
n1
a．如果 lim un
v n n
l
（0≤ l ＜+ ），且级数
vn
n1
收敛，则级数
un
n1
收敛；
b．如果 lim un
v n n
l 0 或 lim un v n
n
，且级数 vn
n1
发散，则级数 un
n1
发散。
②比值审敛法，达朗贝尔（d’A1embert）判别法
【定理】设 un 为正项级数， n1
n1
n1
n1
【推论】设 un 和 vn 都是正项级数，如果级数 vn 收敛，且存在正整数 N，使
n1
n1
n1
当 n≥N 时有 un kvn （k＞0）成立，则级数 un 收敛；如果级数 vn 发散，且当行≥N
n1
n1
时有 un kvn （k＞0）成立，则级数 un 发散。 n1
【定理】（比较审敛法的极限形式）设 un 和 vn 都是正项级数，
如果
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则当 1时级数收敛； 1 （或 lim un1 ）时级数发散； 1 时级数可能收敛 un
也可能发散。
③根值审敛法，柯西判别法
【 定 理 】 设
un
n1
为正项级数，如果
lim
n
n
un
，则当
n1
有极限，则称无穷级数 un 发散。 n1
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显然，当级数收敛时，其部分和 Sn 是级数的和 s 的近似值，它们之间的差值
叫做级数的余项。用近似值 Sn 代替和 s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 | rn | 。
2．收敛级数的基本性质
（1）如果级数 un 收敛于和 s，则级数 kun 也收敛，且和为 ks；
n1
n1
（2）如果级数 un 、 vn 分别收敛于和 s、 ，则级数 (un vn ) 也收敛，且其
n1
n1
n1
和为 s± ；
（3）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性；
（4）如果级数 un 收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数 n1
（2）收敛条件
【定理】正项级数 un 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{ Sn }有界。 n1
（3）判断准则
①比较审敛法
【定理】设 un 和 vn 都是正项级数，且 un vn （1，2，…）。若级数 vn 收敛，
n1
n1
n1
则级数 un 收敛；反之，若级数 un 发散，则级数 vn 发散。
和。当 x 依次取 1，2，3，…时，它们构成一个新的数列
S1 u1 ， S2 u1 u2 ， S3 u1 u2 u3 … Sn u1 u2 u3 ... un ，
该数列为级数数列。
【定义】如果级数
un
n1
的部分和数列 {Sn} 有极限
s，即
lim
n
Sn
s
，则称无穷级数
un 收敛，这时极限 s 叫做这个级数的和，并写成 Sn u1 u2 u3 ... un 。如果{Sn} 没
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同济大学数学系《高等数学》第 6 版下册笔记和课后习题（含考研真题）详解 第 12 章 无穷级数
12.1 复习笔记
一、常数项级数的概念和性质
1．常数项级数的概念
（1）级数
一 般 的 ， 如 果 给 定 一 个 数 列 u1 ， u2 ， u3 ， un ， … 则 由 这 个 数 列 构 成 的 表 达 式
（1）定义
交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：
u1 u2 u3 u4 ，或 u1 u2 u3 u4 。
其中 u1 ， u2 ，…都是正数。
（2）判断准则，莱布尼茨定理
n1
【定理】如果交错级数 (1) un 满足条件：
n1
① un un1 n 1, 2, 3, ；
对于每一个确定的值 x0 ∈I，函数项级数成为常数项级数
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，称
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②
lim
n
un
0。
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则级数收敛，且其和 s u1 ，其余项 rn 的绝对值 | rn | un1 。
3．绝对收敛与条件收敛
【定理】如果级数 un 绝对收敛，则级数 un 必定收敛。
n1
n1
4．绝对收敛级数的性质
仍收敛，且其和不变；
（5）（级数收敛的必要条件）如果级数 un 收敛，则它的一般项 un 趋于零，即 n1
lim
n
un
0。
二、常数项级数的审敛法 1．正项级数及其审敛法 （1）正项级数定义
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设级数 u1 u2 ... un ... 是一个正项级数（ un ≥0），它的部分和为 sn 。
（1）可交换性
【定理】绝对收敛级数改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即
绝对收敛级数具有可交换性）。
（2）可积性
【定理】设级数 un 和 vn 都绝对收敛，其和分别为 s 和 ，则它们的柯西乘积
n1
n1
也是绝对收敛的，且其和为 s· 。
三、幂级数 1．函数项级数的概念 如果给定一个定义在区间上的函数列 则由这个函数列构成的表达式 为定义在区间 I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
＜1 时级数收敛，
＞1（或
lim n
nunΒιβλιοθήκη ）时级数发散， ＝1 时级数可能收敛也可能发散。
④极限审敛法
【定理】设 un 为正项级数， n1
a．如果
lim
n
nun
l
0
（或
lim
n
nun
），则级数
un
n1
发散；
b．如果
p＞1，而
lim
n
n
pun
l
（0≤1≤
），则级数
un
n1
收敛。
2．交错级数及其审敛法