第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。

如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。

满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。

令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

在（3．5）式A (，的每一个元素都为常数)x 即A (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==nn n2n12n 22211n 1211a a a a a a a a ) a A x )(x F AY dxdY+= (3.7) 叫做常系数线性非齐次微分方程组.AY dxdY= (3.8) 叫做常系数线性齐次微分方程组.2． 一阶线性微分方程组的通解结构.定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组)()(x F Y x A dxdY+=中的A )(x 及F )(x 在区间I=[]b a ,上连续，则对于[]b a ,上任一点0x 以及任意给定的Y 0，方程组 )()(x F Y x A dxdY+=的满足初始条件的解在[]b a ,上存在且唯一。

1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设)(),(),(21x Y x Y x Y m 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数。

如果存在m 个不全为零的常数,,,,21m C C C 使得0)()()(2211=+++x Y C x Y C x Y C m m 恒成立，则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关；否则它们在区间I 上线性无关。

判别法则：①定义法②朗斯基（Wronski ）行列式判别法： 对于列向量组成的行列式)( )()( )()(1111x y x y x y x y x W nn n n =通常把它称为n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式。

定理1 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性相关，则们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在I 上恒等于零。

逆定理未必成立。

如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0)(Y 02)(221x x x x Y朗斯基行列式)(x W 在I 上恒等于零，但它们却是线性无关。

定理2 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上某一点0x 处不等于零，即,0)(0≠x W 则向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性无关。

逆定理未必成立。

同前例。

但如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解，则上述两定理及其逆定理均成立。

即定理 3 一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零；解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处恒等于零2).基本解组及其有关结论定义：一阶线性齐次微分方程组Y x A dx dY)(=的n 个线性无关解称为它的基本解组 判别：一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零。

结论：①一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=必存在基本解组。

②基本解组有无穷多个。

3）一阶线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=通解的结构 定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的基本解组，则其线性组合Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解。

结论： 线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解的全体构成一n 维线性空间。

4）解与系数的关系，即刘维尔公式定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的解，则这n 个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的系数的关系是： []⎰=+++xx nn dtt a t a t a ex W x W 02211)()()(0)()(此式称为刘维尔（Liouville ）公式.由此公式可以看出n 个解的朗斯基行列式)(x W 或者恒为零，或者恒不为零∑=nk kkx a1)(称为矩阵A )(x 的迹。

记作)(x trA 。

一阶线性非齐次方程组的通解结构定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组)()(x F Y x A dxdY+=的通解等于对应的齐次微分方程组 Y x A dx dY )(= 的通解与)()(x F Y x A dxdY+=的一个特解之和。

即 )(x F AY dxdY +=的通解为Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ )(~x Y + 其中)()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 为对应的齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解，)(~x Y 是)()(x F Y x A dxdY +=的一个特解。

求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的一个基本解组)(),(),(21x Y x Y x Y n 构成基本解矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Φ)(y )(y )( (x))(nn n1111x x x y y x n 齐次微分方程组Y x A dxdY)(=的通解为 C X x Y )()(Φ= 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21C C C C线性非齐次方程组)(x F AY dxdY+=的通解为 ⎰-ΦΦ+Φ=xx dt t F t x C x x Y 0)()()()()(1。

结论：线性非齐次方程组)()(x F Y x A dxdY+=解的全体并不构成n+1维线性空间。

3． 常系数线性微分方程组的解法常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）① 求特征根：即特征方程式det(A-0)21222211n 1211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=λλλλnn n n n a a a a a a a a a E 的解。

②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。

（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：①求相应的齐次微分方程组的基本解组； ② 用待定系数法求特解。

（详略）二．典型例题及解题方法简介（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。

例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：0)()(2=++y x q dxdyx p dx y d 解：令21dxdy,y y y ==则 0)()(dx dy ,d , 122221221=++==y x q y x p dx dy dxy y dx dy ∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==12221)()(yx q y x p dxdy y dxdy 例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-020322x dtdy t y dt xd 解：令,, dtdx, 321x y x x x ===则有 dtdx x dt dx 321dt dy , == ∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31332212t x dt dx x dtdx x dt dx （一）一般线性微分方程组的求解问题对于一般线性齐次微分方程组Y x A dxdY)(= ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。