111第十章 函数项级数习题课一、 主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性A 、 函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。
非一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在112(,)c c δ-内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。
B 、函数项级数()n u x ∑ 一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法：{()}n r x 一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。
注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。
非一致收敛性的判断 （1）、定义 （2）、Cauchy 准则 （3）、部分和方法，转化为函数列判断 （4）、和函数连续定理 （5）、端点发散性判别法（6）、必要条件：通项函数列{()}n u x 不一致收敛于0（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。
注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。
3、和函数性质定性分析：连续性，可微性的判断 定量分析：求导，求积，求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。
4、幂级数（1）收敛半径，收敛域113（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛 （3）幂级数的展开（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。
二、 典型题目1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中 （1）、()1n nx f x n x=++， （2）、()(1)n n f x nx x =-。
解：（1）计算得，()lim ()lim1n n n nx f x f x xn x→∞→∞===++， [0,1]x ∈，因而，2|()()|||1n nx f x f x x n xn-=-≤++， [0,1]x ∈，故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。
（2）计算得()lim ()lim (1)0nn n n f x f x nx x →∞→∞==-=，[0,1]x ∈，记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ϕ=-=-，则1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，故，()x ϕ在11n x n =+处达到最大值，因而11||()()||()(1)11nn n n f x f x x n n eϕ-==-→++，故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。
注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。
验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或1x =，()0n f x =，因而关于n 单调；当0x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的单调性，为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。
显然，114()ln [1ln ]yyyg y a ya a a y a '=+=+，故，当101ln y a>>时，()0g y '<，因而关于y 单减。
对应得到当11ln1n x>-时，()n f x 关于n 单减，故由Dini-定理，{()}n f x 在[0,1]中一致收敛。
分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。
最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件,[0,1]n f f C ∈是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。
那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x ，{()}n f x 是n 的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}n f x 的单调性也放宽为n N >时，{()}n f x 是n 的单调数列，本例中，在验证单调条件时，实际证明了：0x ∀≠，当11ln1n Nx∆>=-时，{()}n f x 关于n 单调，显然，11ln 1N x=→+∞-，（0x +→），因此，{()}n f x 的单调性关于x 并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。
从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理 在有限闭区间[,]a b 上，设()[,]n f x C a b ∈，n ∀且{()}n f x 点收敛于()[,]f x C a b ∈，又0N ∃>，使得对任意固定的[,]x a b ∈，{()}|n n N f x >关于n 单调，则[,]()()a b n f x f x ⇒。
注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n 充分大，即n N >时所满足的性质即可，要注意与x 关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理：W-定理 设0N ∃>，使得n N >时，|()|n n u x a ≤，x I ∀∈，且1n n a ∞=∑收敛，115则1()n n u x ∞=∑在I 上一致收敛。
定理中的条件|()|n n u x a ≤也是关于x 一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x ，存在N(x)，使得n>N(x)时，|()|n n u x a ≤”。
例2、证明：若()f x 在(,)a b 有连续导数()f x '，则1()[()()]n f x n f x f x n =+-在(,)a b 内闭一致收敛于()f x '。
分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察1|()()||[()()]()|n f x f x n f x f x f x n''-=+--|()()|f f x ξ''=-统一形式，1x x nξ<<+，1||x nξ-<因此，利用一致连续性可以完成证明。
证明：任取[,][,]a b αβ⊂，则()f x '在[,]αβ一致连续，因此，0ε∀>，0δ∃>，使得,[,]x x αβ'''∀∈且||x x δ'''-<时，|()()|f x f x ε'''''-<， 利用微分中值定理，存在1:x x nξξ<<+，使得|()()||()(n f x f x f f x ξ''-=-， 故，1n δ>时， 1||x nξδ-<<，因而|()()|n f x f x ε-<， 故，[,]()()n f x f x αβ'⇒。
3、讨论一致收敛性（1）2(1) , [0,1]nn x x x ∞=-∈∑ ； （2）20, (0,)nx n x e x ∞-=∈+∞∑。
解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。
由于116120()(1)=(1-) (1-)knn k S x xx x x ==-∑，[0,1]x ∈故，()lim ()1 n n S x S x x →+∞==-，[0,1]x ∈。
因而，|()()|(1)nn S x S x x x -=-， 对任意的n ，记()(1) n g x x x =-，则11()(1)n n g x n x x n-+'=- 因而，g （x ）在n =n+1n x 处达到最大值，因而n1n||()()||(1)=() 0n+1n+1n n n n S x S x x x -=-→，n →+∞因此，[0,1]()()n S x S x ⇒，故，20(1) n n x x ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。
法二、也可利用最大值法，或W-判别法。
记2()(1)n n u x x x =-，则121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x n x x x x x x n n x --'=---=--+故，()n u x 在2n n x n =+处达到最大值，因而220()()()()222nn n nnu x u n n n ≤≤=+++ 2224()2n n≤≤+由W-定理可得，20(1) n n x x ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。