例1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=xα是增函数D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα (α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;而当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数.答案C例2、已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x 15(7+3t-2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实数t的值.分析关于幂函数y=xα(α∈R,α≠0)的奇偶性问题,设pq(|p|、|q|互质),当q为偶数时,p必为奇数,y=x pq是非奇非偶函数;当q是奇数时,y=x pq的奇偶性与p的值相对应.解∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1,∴t=-1,1或0.当t=0时,f(x)=x75是奇函数;当t=-1时,f(x)=x25是偶函数;当t=1时,f(x)=x85是偶函数,且25和85都大于0,在(0,+∞)上为增函数.故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 25.点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视.例3、如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则( )A .-1<n<0<m<1B .n <-1,0<m <1C .-1<n <0,m >1D .n <-1,m >1 解析 在(0,1)内取同一值x 0,作直线x =x 0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如图,0<m <1,n <-1.答案 B点评 在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,图象越靠近x 轴;在区间(1,+∞)上,幂函数的指数越大,图象越远离x 轴.例4、已知x 2>x 13,求x 的取值范围.错解 由于x 2≥0,x 13∈R ,则由x 2>x 13,可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其是y =x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布.正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示),易得x<0或x>1.例5、函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,求f (x )的解析式.分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ,再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1,当m =2时,f (x )=x 3在(0,+∞)上是增函数;当m =-1时,f (x )=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故f (x )=x 3.点评 幂函数y =x α (α∈R ),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x 为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本例来说,还要根据单调性验根,以免增根.变式 已知y =(m 2+2m -2)x1m 2-1+2n -3是幂函数,求m ,n 的值. 解由题意得⎩⎨⎧m 2+2m -2=1m 2-1≠02n -3=0,解得⎩⎨⎧m =-3n =32,所以m =-3,n =32.例6、比较下列各组中两个数的大小: (1)535.1,537.1;(2),;(3)32)2.1(--,32)25.1(--.解析:(1)考查幂函数y =53x 的单调性,在第一象限内函数单调递增, ∵<,∴535.1<537.1,(2)考查幂函数y =23x 的单调性,同理 (3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数, ∵32)2.1(--=322.1-,32)25.1(--=3225.1-,又322.1->3225.1-, ∴32)2.1(-->3225.1-.点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是: (1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性; (2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.例7、比较下列各组数的大小(1) 3-52与-52;(2)-8-78与-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性,当不便利用单调性时,可用0与1去比较,这种方法叫“搭桥”法.解 (1)函数y =x -52在(0,+∞)上为减函数,又3<,所以3-52>-52.(2)-8-78=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1878,函数y =x 78在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978, 从而-8-78<-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的参数.变式 比较下列各组数的大小:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23与⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23;(2),(-35与-23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-23,⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-23,∵函数y =x -23在(0,+∞)上为减函数,又∵23>π6,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23. (2)25>125=1,0<-23<1-23=1,(-35<0,所以(-35<-23<25.例8、 已知幂函数y =x 3m -9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x 的增大而减小,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的范围.解 ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴3m -9<0,解得m <3, 又m ∈N *,∴m =1,2. 又函数图象关于y 轴对称, ∴3m -9为偶数,故m =1, ∴有(a +1)-13<(3-2a )-13.又∵y =x -13在(-∞,0),(0,+∞)上均递减,∴a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a , 解得23<a <32或a <-1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时,一定要考虑幂函数的定义.(2)幂函数y =x α,由于α的值不同,单调性和奇偶性也就不同.变式 已知幂函数y =xm 2-2m -3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点,且关于y 轴对称,求m 的值,且画出它的图象.解 由已知,得m 2-2m -3≤0,∴-1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ,∴m =-1,0,1,2,3,当m =0或m =2时,y =x -3为奇函数,其图象不关于y 轴对称,不符合题意. 当m =-1或m =3时,有y =x 0,其图象如图①所示. 当m =1时,y =x -4,其图象如图②所示.练习一、选择题 1.下列命题:①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);②幂函数的图象不可能在第四象限;③n =0时,y =x n 的图象是一条直线;④幂函数y =x n ,当n >0时,是增函数;⑤幂函数y =x n ,当n <0时,在第一象限内函数值随x 值的增大而减小. 其中正确的是( )A .①和④B .④和⑤C .②和③D .②和⑤ 答案 D2.下列函数中,不是幂函数的是( )A .y =2xB .y =x -1C .y =xD .y =x 2 答案 A 3.设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫-2,-1,-12,13,12,1,2,3,则使f (x )=x α为奇函数且在(0,+∞)内单调递减的α值的个数是( )A .1B .2C .3D .4 答案 A4.当x ∈(1,+∞)时,下列函数图象恒在直线y =x 下方的偶函数是( ) A .y =x 12 B .y =x -2 C .y =x 2 D .y =x -1答案 B5.如果幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象不过原点,则m 的取值是( )A .-1≤m ≤2B .m =1或m =2C .m =2D .m =1 答案 B解析 由已知⎩⎨⎧m 2-3m +3=1m 2-m -2≤0∴m =1或m =2.6.在函数y =1x2,y =2x 2,y =x 2+x ,y =1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A .1B .0C .2D .3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定,应选C.7.幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,那么f (8)的值为( )A .2 6B .64 答案 C解析 设f (x )=x α (α为常数),将⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12点代入得12=4α,∴α=-12,f (x )=x -12,∴f (8)=8-12=24.8.下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是( )A .y =2xB .y =x 2C .y =x -2D .y =log a x (a >0,且a ≠1)答案 B解析 根据函数图象,选B. 二、填空题1.若幂函数y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫9,13,则f (25)=_____________. 答案15解析 设f (x )=x α,则9α=13,α=-12.∴f (25)=25-12=15.2.设幂函数y =x α的图象经过点(8,4),则函数y =x α的值域是______________.答案 [0,+∞)解析 由4=8α,得α=23,∴y =x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象,已知α取±2,± 四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α依次为 .答案 2,12,-12,-24.若幂函数y =f (x )的图象经过点(2,2),则f (25)的值是________. 答案 5解析 设y =x α,∵点(2,2)在y =x α的图象上, ∴2=2α,∴α=12,∴f (x )=x 12.故f (25)=2512=5.5.幂函数y =x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限. 答案 四6.把下列各数223,⎝ ⎛⎭⎪⎫53-13,⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,⎝ ⎛⎭⎪⎫150,⎝ ⎛⎭⎪⎫3223,按由小到大的排列顺序为__________________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53-13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7.已知幂函数f (x )=x -12,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.答案 3<a <5解析 f (x )=x -12=1x (x >0),由图象知x ∈(0,+∞)时为减函数,又f (a+1)<f (10-2a ),∴⎩⎨⎧a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a .得⎩⎨⎧a >-1,a <5,a >3.∴3<a <5.三、解答题1.求函数y =52x +2x 51+4(x ≥-32)值域.解析:设t =x 51,∵x ≥-32,∴t ≥-2,则y =t 2+2t +4=(t +1)2+3. 当t =-1时,y min =3.∴函数y =52x +2x 51+4(x ≥-32)的值域为[3,+∞). 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.2.已知f (x )=(m 2+2m )·xm 2+m -1,m 是何值时,f (x )是(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.解 (1)若f (x )为正比例函数,则 ⎩⎨⎧m 2+m -1=1m 2+2m ≠0,∴m =1.(2)若f (x )为反比例函数,则⎩⎨⎧m 2+m -1=-1m 2+2m ≠0,∴m =-1.(3)若f (x )为二次函数,则 ⎩⎨⎧m 2+m -1=2m 2+2m ≠0,∴m =-1±132.(4)若f (x )为幂函数,则m 2+2m =1,∴m =-1±2。