《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯=
== ∴ 180()105B A C =-+=，
又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯=
===⨯= 总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，0
60C =，5c =，求a 、A .
【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60
o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆=
==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
解析：由正弦定理得：sin sin b c B C
=， ∴sin 1sin 23
c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，
当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；
当30C =时，90A =，∴222a b c +=．
（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，
∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = ∴222a b c =+=．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在ABC ∆中，6c =2a =，45A =，求b 和,B C ．
【答案】∵sin sin a c A C
=， ∴sin 6sin 453sin 22c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =
∴当60C =时，75B =，sin 67531sin sin 60
c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin 6sin1531sin 60c B b C =
==； 所以，31,75,60b B C ===或31,15,120b B C ===．
【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；
【答案】 ∵2sin 45sin o a B =， ∴1sin 2
B =
∵0180B <<， ∴30B =或150B =
①当30B =时，105C =，)13(10c +=；
②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。

【变式3】在ABC ∆中，60B =，14a =, b =求A ∠.
【答案】由正弦定理，得226
760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A <<
∴45A =
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知ABC ∆中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ∆中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：∵三边中BC =BC 其所对角A 最大，
根据余弦定理：222222341cos 22342
AB AC BC A AB AC +-+-===-⨯⨯， ∵ 0180A <<， ∴120A =
故ABC ∆中的最大角是120A =.
总结升华：
1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .
【答案】根据余弦定理：2222225371cos 22352
a b c C ab +-+-===-⨯⨯， ∵0180C <<， ∴120o C =
【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =
2:1），求ABC ∆的各角的大小．
【答案】设a =，2b k =，)
1c k =，()0k >
根据余弦定理得：()26314
2cos 2
2316B +-==+， ∵0180B <<，∴45B =；
同理可得60A =；
∴18075C A B =--=
【变式3】在ABC ∆中，若222
a b c bc =++，求角A . 【答案】∵222
b c a bc +-=-， ∴2221cos 22b c a A bc +-==
- ∵0180A <<， ∴120A =
类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在ABC ∆中，已知23=a 62c 045B =，求b 及A .
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b ，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A .
解析：
⑴由余弦定理得：
2222cos b a c ac B =+- =220(23)(62)223(62)cos45+-⋅⋅ =212(62)43(31)+-
=8 ∴2 2.=b
⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理） ∵222222(22)(62)(23)1cos 22222(62)
b c a A bc +-++-==⨯⨯+， ∴060.=A （法二：正弦定理） ∵0233sin sin sin4522a A B b =62 2.4 1.4 3.8+=，2321.8 3.6⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：
【变式1】在ABC ∆中，已知3b =, 4c =, 0135A =.求B 和C .
【答案】由余弦定理得：21225135cos 43243222+=⨯⨯-+=o a ，
∴48.621225≈+=a 由正弦定理得：sin 3sin135sin 0.327o
b A B a a
==≈， 因为0135A =为钝角，则B 为锐角， ∴0/
197B =.
∴00/180()2553C A B =-+=. 【变式2】在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若2a =
，
b =
c =-，
求角A 和sin C
【答案】根据余弦定理可得：
222cos 22b c a A bc +-=== ∵0180A <<， ∴ 30A = ；
∴由正弦定理得：
(sin 306sin sin 24c A C a
===.。