坐标系。
A1
B1 P
∴A(4,0,0) ,B(4,4,0) D(0,0,0)
由已知可知P(0,4,z)
D
AP=(－4, 4, z ),
BD =(－4,－4, 0 ),
A x
y C
B
AP ·BD =16－16 =0 AP ⊥ BD
AP ⊥ BD
2020/5/5
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。 z
F
1,0
,
1 2
，
G
1,
1 2
,1
.
EF 1 ,0, 1，EG1, 1,1 A1
2 2
2 2
D1 KG
C1 B1
设面EGF的法向量 n =(x, y, z) F
y
n ·EF =0 n ·EG=0
即
1 2 1 2
x x
1 2 1 2
z y
0 z
0
x
A
D E
C B
令x=1,得 n =(1, 1,－1)
解：P(0, 4,3) B1(4,4,5)
∴ DA1=(1,0,1) CK0,1, 1
2
z
D1
A1
KG
C1 B1
cos DA1 , CK
1
F
= DA1·CK
| DA1| ·|CK|
2 2 • 1 1
4x
A
D E
10 10
∴ DA1 与CK的夹角为 arccos 10
10
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y C
B
z
②求点B到平面EFG的距离；
E 1 ,0,0， 2
n
•
DC
1 3 33
F
D E xA
y C
B
在二面角G—EF—D1内 n 是指向面GEF DC 是背离平面DAD1A1
∴二面角G—EF—D1为 arccos 3
2020/5/5
3
④ DD1与平面EFG所成的角；
z
（用三角函数表示）
由②知面GEF的法向量
D1
C1
n =(1, 1,－1)
∵ DD1=(0,0,1)
而BE1,1,0 2
∴点B到平面EFGd=
|BE ·n |
1 1 2
3
| n|
3
2
2020/5/5
③二面角G—EF—D1的大小
（用三角函数表示）
由②知面GEF的法向量
n =(1, 1,－1)
A1
而面DAD1A1法向量
z D1 KG
C1 B1
DC =(0, 1,0),
cos DC , n
n • DC
向量为 n 则 n ·a =0 n ·b =0
a
A a
n
∴ a、b之间的距离 d= |AB ·n |
| n|
bb
B
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z
例1：棱长为1的正方形ABCD—
A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是
棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点，
①求A1D与CK的夹角；
②求点B到平面EFG的距离； ③二面角G—EF—D1的大小
D1
A1
KG
C1 B1
d= |DK ·n |
| n|
1 1 93
F
D E xA
y C
B
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例2 正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1
上的任意一点.
①求证:BD⊥AP
z
②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。 D1
C1
①证明：以D为坐标原点建立如图所示
A1
KG
B1
cos DD1,
n
n • DD 1 n • DD 1
1 3
F
D
y C
E
∴
DD1,
n arccos 3
3
x
A
B
∴ DD1与平面EFG所成的角为 arccos 3 arccos 3
32 2
3
2020/5/5
z
⑤求A1D与CK之间的距离。
∵ A1D=(－1,0 ,－1)
D1
C1
2、求直线和平面所成的角
g1
设直线BA与平面β的夹角为θ，
A
n
n 为平面β的法向量,
θ
βB C
当 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1
θ=
2
g1
A
g2 n
θ
β
B
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C
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2
θ=
g
2
2
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
a
n1 g n2
设 n1 ,n2 = g
设a —l —b的平面
q
b 角为q
l
a
2020/5/5
g
n1 g n2 q
l
q －g
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
b
n1
g
设 n1 ,n2 = g
设a —l —b的平面
a
q
n2
b
角为q
l
q g
g
两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。
n1
a
n2
q
b
l
2020/5/5
二：向量法求距离
一、用向量法求角 1 求直线和直线所成的角
利用两条直线的方向向量的夹角的余弦
的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。
A
设异面直线a、b的夹角为θ
C
β
Ba Db
AB ·CD
cosθ =| cos AB , CD| =
|AB|·|CD|
θ = AB , CD 或 θ =π－ AB , CD
2020/5/5
CK0，1，1 2
令nA1D nCK
A1
KG
B1
且设 n =(x, y, z)
由
n n
• •
CK A1D
0 0
F
D E xA
y C
B
得
y
1 2
z
0
x 2020/5/5 z 0
令x=2,得 n =(2, －1, －2)
z
n =(2, －1, －2)
DK0，0，1 2
∴A1D与CK之间的距离
1、已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2)
A B
|AB|= AB• ABx 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
d A ,B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。
2020/5/5
d= |AB ·n |
| n|
β
A
a
n
B
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4. 两个平行平面间的距离
d= |AB ·n |
| n|
A
A、B分别是a、β上的任意点， a
n 是平面a、 β的一个法向量
n
β
B
2020/5/5
3、求两条异面直线的距离 只需在两条异面直线a 、 b上
分别任取一点A、B。设与a 、 b的方向向量都垂直的
2. 点到平面的距离
已知AB为平面a的一条斜线段, n平面a的法向量.
则A到平面a的距离
A
d= |AB ·n |
n
| n|
αB
C
2020/5/5
3. 直线和它平行平面的距离 已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离
在a和平面β上分别任取一点A和B
n 是平面β的一个法向量
直线a和它平行平面β的距离为
A1
（用三角函数表示）
D1 KG
C1 B1
④ DD1与平面EFG所成的角；
（用三角函数表示）
F
⑤求A1D与CK之间的距离。
D
y C
解：以D为坐原点
E
DA , DC , DD1 为单位正 x A
B
交基底建立直角坐标系。
2020/5/5
①∵A1(1,0,1) D(0,0,0)
C(0,1,0) K 0,0, 1 2