将抛物线向左平移 m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为
二次函数的平移问题
我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 .
一.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 丰0)时
1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 .
将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c-n 两式比较：可得抛物线向上平移n 个单位，常数项上加n ,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位，常数项上减去n ,即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c-n
2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 .
将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=
2 a(x+m) +b(x+m)+c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 得到的新抛物线的解析式为 y= 2
a(x-m) +b(x-m)+c
两式比较，可得出抛物线向左平移 m 个单位，自变量上减去 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位，自变量 上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c
3.
m 个单位长度后，再将抛物线向上平移
2 y= a(x+m) +b(x+m)+c+n
m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c-n
m 个单位长度后，再将抛物线向上平移
2 y= a(x-m) +b(x-m)+c+n
m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c-n
二.当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k (a ^0)时
1. 向上或向下平移时,解析式的变化规律 .
将抛物线向上平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n
将抛物线向下平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为
(h , k+n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k+n
将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为
(h , k-n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k-n
比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加n ,同理可推出向下平移n 个单位括号外减去 n. 即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a ( x+m-h)2+k-n
2. 向右或向左平移时,解析式的变化规律
将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 n 个单位长度后 , 得到
n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到
物线向右平移m个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m) 2+k
(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a[x-(h-m)] 2+k=a (x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由( h,k)变为
(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a[x-(h+m)] 2+k=a( x-h-m) 2+k 两解析式比较可得出图像向左平移m个单位，括号内加上m即抛物线解析式由
y=a(x-h) 2+k变为y=a(x-h+m)2+k；同理可推出向右平移m个单位括号内减去m即抛物线解析式由y=a(x-h) 2+k变为y=a( x-h-m) 2+k
综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项
3.
二次函数的平移练习题
1. 把抛物线y=-x2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为( )
2 2 2 2
A. y=- ( x-1) +3
B. y=- ( x+1) +3
C. y=- ( x-1) -3
D. y=- ( x+1) -3
2. 抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x2-2x-3，贝U b、c的
值为( )A . b=2 , c=2 B. b=2 , c=0 C . b= -2 , c=-1 D. b= -3 , c=2
3•将函数y=x2+x的图像向右平移a ( a> 0)个单位，得到函数y=x2-3x+2的图像，贝U a的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 已知二次函数y=x2-bx+1 (-1 w b< 1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，
F列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是( )
向右平移5个单位D.将抛物线C向右平移6个单位
1
___ I 9 . , O
6. 把二次函数y=- x -x+3用配方法化成y=a(x-h) +k的形式
4
A. y=-丄(x-2)
42
+2 B. y= 丄(x-2)
2+4 C. y=-
4
-(x+2) 2+4 D. y=(
4
丄x-丄)2+3
2 2
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移
A. y=2x2-2 B . y=2x2+2 C . y=2(x-2) 2 D
8. 将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是(
2 2 2
A. y=2(x+1)
B. y=2(x-1)
C. y=2x +1 2个单位，所得图象的解析式为y=2(x+2) 2
)
D. y=2x2-1
9.将函数y=x2+x的图象向右平移a(a >0)个单位，得到函数y=x2-x+2的图象，贝U a的值为(
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 把抛物线y=-2x2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为(
2 2 2 2
A. y=-2 (x-2 ) +5
B. y=-2 (x+2) +5
C. y=-2 (x-2 ) -5
D. y=-2 (x+2) -5
11. 在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )
2 2 2 2
A. y=-x -x+2 B . y=-x +x-2 C. y=-x +x+2 D. y=x +x+2
)
)
y轴作轴对称变
将抛物线向左平移的新抛物线的解析式为将抛物线向左平移的新抛物线的解析式为m个单位长度后，再将抛物线向上平移y=a( x-h+m)2+k+n
m个单位长度后，再将抛物线向下平移
2
y=a( x-h+m) +k-n
将抛物线向右平移的新抛物线的解析式为m个单位长度后，再将抛物线向上平移y=a( x-h-m) 2+k+n
将抛物线向右平移m个单位长度后，再将抛物线向下平移n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到n个单位长度后，得到
的新抛物线的解析式为y=a( x-h-m) 2+k-n
A. 先往左上方移动，再往右下方移动
B. 先往右上方移动，再往右下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动
D.先往右下方移动，再往右上方移动
5. 已知抛物线C: y=x2+3x-10，将抛物线平移方法正确的是(C平移得到抛物线C'.若两条抛物线
C向右平移2.5个单位B.将抛物线
C C'关于直线x=1对称，则下列
C向右平移3个单位C.将抛物线C
将抛物线向左平移m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为。