y
x
P O
B A
第3题
2007年浙江省镇海中学保送生数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）：
１．若a 、b
的值是（ ） （A ）二者均为有理数 （B ）二者均为无理数
（C ）一个为无理数，另一个为有理数 （D ）以上三种情况均有可能．
２．若x y x y x y y x 156523-=-=，则2
22
232654y xy x y xy x +-+-的值是（ ）． （A ）
29 （B ）4
9
（C ）5 （D ）6 ． ３．如图，在一次函数3y x =-+的图象上取一点P ，作P A ⊥x 轴，垂足为A ，PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个．
４．等边△ABC 的各边与它的内切圆相切于111,,A B C ，111A B C ∆的各边与它的内切圆相切于
222,,A B C ，…，以此类推.若△ABC 的面积为1，则555A B C ∆的面积为（ ）
（A ）
51 （B ）251 （C ）521 （D ）102
1． ５．如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，若某
人不亚于其他99人，我们就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中，棒小伙子最多可能有（ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C) 50个 (D) 100个．
６．某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知
（A ）① （B ）② （C ）④ （D ）③或⑤．
７．如图，已知等腰梯形ABCD ，腰AB ＝CD ＝m ，对角线AC ⊥BD ，锐角∠ABC ＝α，则该梯形的面积是（ ）
（A ）αsin 2m （B ）2
2
)(sin αm
（C ）αcos 2m （D ）2
2)(cos αm ．
８．△ABC 有一边是另一边的2倍，又有一个内角等于30°，则下列正确的是（ ）
(A) △ABC 不是直角三角形 (B) △ABC 不是锐角三角形 (C) △ABC 不是钝角三角形 (D) 以上答案都不对．
９．正五边形广场ABCDE 的边长为400米，甲，乙两个同学做游戏，甲从A 处，乙从C 处
A B
C
D
题7图
同时出发，沿A —B —C —D —E —A 的方向绕广场行走，甲的速度为每分钟50米，乙的速度为每分钟46米．在两人第一次刚走到同一条边上的那一时刻（ ）
（A ）甲不在顶点处，乙在顶点处 （B ）甲在顶点处，乙不在顶点处 （C ）甲乙都在顶点处 （D ）甲乙都不在顶点处
10．二次函数2
67y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2
(3)2y t =--+，则t
的取值范围为（ ）
（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对． 二、填空题（每小题5分，共30分）：
11．如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC
的度数为96°，BD
的度数为36°，动点P 在直径AB 上，则CP
＋PD 的最小值为___________．
12．已知正数a ，b ，有下列命题：
(1) 若a ＝1，b ＝1
≤1； (2) 若a ＝12， b ＝52
3
2
； (3) 若a ＝2，b ＝3
≤
5
2
； (4) 若a ＝1， b ＝5
3． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a ＝6，b ＝7，则ab ≤________． 13．如果满足
2
61610x x a ---=的实数x 恰有6个，则
实数a 的值等于__________．
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，将矩形ABCD 沿对角线AC 对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是________．
15．已知y x ,均为实数，且满足32,1222=+=++xy y x y x xy ，则33y xy x ++＝
______________．
16．5只猴子一起摘了1堆桃子，因太累了，它们决定，先睡一觉再分．过了不知多久，来了第一只猴子，它见别的猴子没来，便将这堆桃子平均分为5堆，结果还多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．又过了不知多久，来了第2只猴子，它不知道有1个同伴已经来过了，还以为自己是第1个到的，也将地上的桃子平均分为5堆，结果也多1个，就把多余的这个吃了，取走自己应得的1份．第3只，第4只，第5只猴子都是这样……．则这5只猴子至少摘了_________个桃子．
D'
E
D
C
B
A
第14题
P
D C
B
A
第11题
三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：
17．关于x 的方程x
kx x x x x k 1
122+=
---只有一个解，求k 的值和相应方程的解．
18．已知：点A （6，0），B （0，3），线段AB 上一点C ，过C 分别作CD ⊥x 轴于D ，作CE ⊥y 轴于E ，若四边形ODCE 为正方形．
⑴ 求点Ｃ的坐标；
⑵ 若过点C ，E 的抛物线c bx ax y ++=2
的顶点落在正方形ODCE 内（包括四边上），求a 的取值范围；
⑶ 在题⑵的抛物线中与直线AB 相交于点Ｃ和另一点Ｐ，若△PEC ∽△PBE ，求此时抛物线的解析式．
19．在一圆中，两条弦AB ，CD 相交于点E ，Ｍ为线段EB 之间的点（不包括E ，B ）．过点D ，E ，M 的圆在点E 的切线分别交直线BC ，AC 于F ，G ．若
t AB AM =，求
EF
GE
（用t 表示）．
20．整数01232003,,,,
,x x x x x 满足条件：00x =，101x x =+，211x x =+，
321x x =+，…，200320021x x =+.
⑴ 试用仅含2003x 的代数式表示12320022003x x x x x +++++，
⑵ 求12320022003x x x x x +++++的最小值．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）：
１．Ａ ２．A ３．D 4．Ｄ ５．D ６．C ． ７．Ｂ ８．Ｂ ９．Ｂ 10．Ｃ 二、填空题（每小题5分，共30分）：
11． 3 12．169
4
13．10 14．
2035
48
15． 420 16．3121 三、解答题（第17题8分，第18题、第19题各10分，第20题12分，共40分）：
17．原方程可化为01232
=-+-x kx kx ① 当0=k 时，原方程有唯一解2
1
=
x ． （３分） 当0≠k 时，方程①的0)1(454)23(2
2
2
>-+=+-=∆k k k k 故总有
两个不同的实数根．按题设原方程只有一个解，因此必有一个根是原方程 的增根，从原方程可知增根只可能是０或１，显然，０不是方程①的根，
故1=x 是方程①的根，代入①得21=
k ．由韦达定理可得原方程的根为21
-=-k ． 所以，当0=k 时，原方程的解为2
1
=x ；
当2
1
=k 时，原方程的解为2-=x ． （８分）
18．⑴ C （2，2） （２分） ⑵ 0＜a ≤2 （５分）
⑶ P （3
2-
，310） （８分） 223
432+-=x x y （10分）
19． EF GE ＝t
t -1．（以下解法仅供参考）
连结AD ，MD ，BD ．可证得△CGE ∽△BDM ，MB
DM
CE GE =；① △CEF ∽△AMD ，DB
AM
EF CE =；②
①×②得：
EF GE ＝MB AM ＝t
t
-1．
20．由已知得22
10022
21122
3222220032002200221,21,21,2 1.x x x x x x x x x x x x ⎧=++⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪⎪=++⎩
于是22
2003001220022()2003x x x x x x =++++
+，又00x =，
则2
21220032003200320032()22003(1)2004x x x x x x ++
=+-=+-,
即 12320022003x x x x x +++++=
12
2
2003(1)2004x +-. （５分） 由于12320022003x x x x x +++
++为整数，则20031x +是偶数，比较2
442004-与
2
462004-的大小，可得12320022003x x x x x +++
++≥
12
2
442004-＝34． 当02419600x x x x ===
=，13519591x x x x ====-，19611x =，19622x =，
19633x =，…，200343x =时，等号成立．所以12320022003x x x x x +++++的最小值为
34． （12分）。