初等代数研究练习题一、填空题1、已知三次多项式f(x)在x=-1,0,1,2时函数值分别为1,2,3,2,则f(x)= 。

2、多项式2223++-x x x表示成（x-1）的幂的多项式的形式为 。

3、已知===105,7,5loglog log 6353则b a 。

4、θθθθθθ3tan tan tan 3cot cot cot -+-= 。

5、六本不同的书，按下列条件分配，各有多少种不同的分法 （1）分给甲乙丙三人，每人2本，则有 种分法。

（2）分成三份，每份2本，则有 种分法。

6、线性规划问题中决策变量应满足的条件称为__________________. 7、将线性规划问题的一般形式化为标准形式时，若第r 个约束条件为r n r r b x a x a n ≤++ 11，则引入____________变量≥+r n x 08、使目标函数达到_______________的可行解称为最优解。

9、若原线性规划中有n 个变量，则其对偶规划中一定有_____________个方程。

10、用单纯形法解线性规划问题时，若检验数有负，则要进行______________。

二、计算题1、设αααααcos sin cos 2,2tan sin3++=求得值 2、计算)]43cot(21cos[-arc 的值。

3、解方程112432--=-+x x x4、设正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 。

5、设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为a ，试求B 到平面AB 1C 的距离。

6、用单纯性法解线性规划问题 maxS=801x +452x 201x +52x ≤400 151x +102x ≤450 1x ≥0, 2x ≥0 三、证明题1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 作一直线分别与AC 、AB 的延长线交于E 、F 。

求证：BFAFEC AE = 2、正方形ABCD 中E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BF 、CF ，它们相交于P ，如图所示，求证：AP=AB3、设f(x)是以R 为定义域的函数，且对任意的R y x ∈,，均满足f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(0)=0;f(-x)=-f(x)（2）当)()(,x mf mx f Z m =∈时（3）当)()(,x rf rx f Q r =∈时 四、简答1、将线性规划问题化为标准形式321,0,0x x x ≥≥无非负限制2、如果某线性规划问题的约束方程组为 1x -2x +3x =4 1x -2x +33x =8 写出该问题的所有基阵与基本解，并判断是否是基本可行解。

初等代数研究练习题答案一、填空题1、23431)(3++-=x x f x 2、4)1(3)1(2)1(23+-++--x x x3、abab a +++21 4、15、（1）90； （2）156、约束条件7、松弛8、最大值9、n 10、换基迭代 三、计算题1、解：由tan α=2知sin α=2 cos αcos2α=51111tan sec22=+=aa于是原式=56328cos cos 2cos 28cos cos 23=+=++a aa a a 2、解：令α=arc cot （43-），则2ππαππ，4ππχπ2π cot α=43-，tan α=34- 于是cos α=5311tan 2-=+-a 所以原式=cos552cos 12=+=a a 3、解：原方程可化为 112)4)(1(--=+-x x x（1）x ≥1时，方程为065,224322=-+-=-+x x x x x即解得 1,221=-=xx所以x=1（2）21πχπ1时，方程为0652=-+x x 解得 1,621=-=xx此时方程无解 （3）214≤≤-x 时，方程为042=-+x x 解得 2171±-=x 所以2171--=x （4）045,42=-+-x x x方程为时π 解得2415±-=x 所以2415--=x 综上知，方程的解为2415--，2171--，1 4、将△CDQ 绕点O 旋转90°至△CBQ 如图则有 △CQD ≌△CBQ ’，则有CQ=CQ ’ ① DQ=BQ ’② 因为△APQ 的周长为2，所以有PQ=PB+DQ ③ 故由②③PQ=PQ ’因此由①④及PC 公边有△CPQ ≌△CPQ ’则∠PCQ= ∠PCQ ’ 而∠QCQ ’=90° ∠PCQ=45°。

5、解：我们先证明BD 1⊥平面AB 1C事实上因ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，则DD 1⊥平面 ABCD 。

因此 DD 1⊥AC又因ABCD 为正方形AC ⊥BD 而DD 1和BD 相交 所以，AC ⊥平面BDD 1 BD 1在平面BDD 1上 因此 BD 1⊥AC 同理BD 1⊥AB 1 所以 BD 1⊥平面AB 1C设垂足为H ，由于易知△AB 1C 必为等边三角形， 故易知H 为△AB 1C 的中心，连接BH ，则∠BHB 1=90° 由于AB 1= B 1C=CA=2a则B 1H=33 AB 1=332a=36a所以BH==-=-)33(222121a a H B BB 33 a 这就是B 到平面AB 1C 的距离。

6、 解：（1）将此线性规划问题化为标准形式 maxS=801x +452x201x + 52x +3x =400 151x +102x +4x =4501x ,2x ,3x ,4x ≥0 （2）进一步化为典式形式 maxS201x + 52x +3x =400 151x +102x +4x =450 S-801x -452x =01x ，2x ，3x ，4x ≥0 得基可行解T X)450,400,0,0()0(=（4）进行换基迭代由于min{-80,-45}=-80,因此1x 入基 由于min{15450,20400}=20400,所以3x 出基 这时20为主元，将20框出迭代后，新基变量为1x ，4x ，而非基变量为2x ，3x令2x =3x =0，得新基可行解TX )150,0,0,20(1= 由于检验数仍有负数，重复上面工作-25是2x 系数，则2x 入基 又min{4120,425150}=425150,则4x 出基，425为主元令3x =4x =0，得基可行解TX )0,0,24,14(2=（5）此时检验数均为正数，故2X 为最优解，最优值为2200 三、证明题1、证明：过C 引EF 的平行线交AB 的延长线于G ，则由EF ∥CG 得FGAFEC AE =（1） 而BD=DC ，故BF=FG 代入（1）式得BFAFEC AE =2、证明：连接BF 得Rt △ABF再过A 作AP 的垂线交CF 的延长线于G ，又得到Rt △APG ∵AFPB 内接于圆 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠4又∵∠3=∠5=∠6 ∴∠4=∠6 ∴AF=AG∴△ABF ≌△APG ∴AB=AP 3、证明：（1）令x=y=0，则 f(0)=2f(0)所以 f(0)=0令y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x) 所以 f(-x)=-f(x)(2) m=0 时， f(0)=0; m=1时， f(x)=f(x)m ≥2时，对m 用数学归纳法证明f(mx)=mf(x) k=2时，f(2x)=f(x+x)=2f(x) 假设， f(mx)=mf(x)则 f[(m+1)x]=f(mx+x)=mf(x)+f(x)=(m+1)f(x) 所以 m ≥2时，f(mx)=mf(x) 所以 m ≥0时，f(mx)=mf(x) m ≤-1时，设m=-n ，n ∈N则f(mx)=f(-nx)=-f(nx)=-nf(x)=mf(x)综上，m ∈Z 时，f(mx)=mf(x)（3）可设n mr =，其中m,n ∈Z ，且n ≠0于是 )()()(x mf mx f x nmnf ==所以 Q r x rf rx f ∈=),()(四、简答题1、 解：令'S =-S ，4x ≥0，5x ≥0，3x =3'x -3''x ，3'x ，3''x ≥0于是 max 'S =－21x +32x -(3'x -3''x ) 1x -2x +2(3'x -3''x )-4x =8 21x +2x -3(3'x -3''x ) +5x =20 1x -2x -2(3'x -3''x ) =2 1x ,2x ,3'x ,3''x ,4x ,5x ≥0 2、解：令A=[]321P P P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--311111由于1P 、3P ，2P 、3P 线性无关，所以只有两个基矩阵 1B =[1P ，2P ]=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3111 2B =[2P ，3P ]=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3111 对1B 来说，1x ，3x 是基变量，2x 是非基变量令2x =0得约束方程的解 1x =23x =2于是得基本解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202)1(X， 它是基本可行解。

对2B 来说，2x ，3x 是其基变量，1x 是非基变量令1x =0得约束方程的解 2x =-2 3x =2于是得基本解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=220)2(X因为-2 0，所以它不是基本可行解。