2020中考数学冲刺专题12新定义【考点1】明确条件、原理、方法得出结论【例1】（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C e ，给出如下定义：若C e 上存在点A ，使得30APC ∠=︒，则称P 为C e 的半角关联点． 当O e 的半径为1时，（1）在点1(2D ，1)2-，(2,0)E ，F 中，O e 的半角关联点是 ；（2）直线:2l y =-交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点(,)P m n 是O e 的半角关联点，求m 的取值范围．【变式1-1】（2018•平谷区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M e ，给出如下定义：若M e 上存在两个点A ，B ，使2AB PM =，则称点P 为M e 的“美好点”．（1）当M e 半径为2，点M 和点O 重合时，1点1(2,0)P -，2(1,1)P ，3(2,2)P 中，O e 的“美好点”是 ；2点P 为直线y x b =+上一动点，点P 为O e 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M e ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为M e 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围．【考点2】运用类比、归纳、分类讨论等解决问题【例2】（2018•东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点(0,1)F 的距离与到直线:1l y =-的距离相等．如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH l ⊥于点H ，则PF PH =． 基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d 剟时，称点M 为抛物线214y x =的关联点． （1）在点1(2,0)M ，2(1,2)M ，3(4,5)M ，4(0,4)M -中，抛物线214y x =的关联点是 ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(,1)A t ，点(1,3)C t + ①若4t =，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是 ．【变式2-1】（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，对于P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P 、Q 两点为“等距点”，如图中的P 、Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为(3,1)-①在点(0,3)E 、(3,3)F -、(2,5)G -中，点A 的“等距点”是 ；②若点B 在直线6y x =+上，且A 、B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ； （2）直线:3(0)l y kx k =->与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．①若11(1,)T t -、22(4,)T t 是直线l 上的两点，且1T 、2T 为“等距点”，求k 的值；②当1k =时，半径为r 的O e 上存在一点M ，线段CD 上存在一点N ，使得M 、N 两点为“等距点”，直接写出r 的取值范围．1．（2019•门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的动点P 和图形N ，给出如下定义：如果Q 为图形N上一个动点，P ，Q 两点间距离的最大值为max d ，P ，Q 两点间距离的最小值为min d ，我们把max min d d +的值叫点P 和图形N 间的“和距离”，记作(,)d P N ． （1）如图1，正方形ABCD 的中心为点O ，(3,3)A ． ①点O 到线段AB 的“和距离” (,)d O AB = ；②设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，(,)7d P ABCD =，求点P 的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C ，D 两点作射线CD ，连接AC ，点M 是射线CD 上的一个动点，如果(,)6d M AC <+M 点横坐标t 取值范围．2．（2019•海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得ABC ∆是以BC 为斜边且2BC =的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系(,)M N ϕ．（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，则点1P ，2(1,1)P ，3(2,2)P -中可以是图形X 的是 ；（2）已知点(2,0)P ，点(0,2)Q ，记线段PQ 为图形X ．①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系(,)X Y ϕ又具有关系(,)Y X ϕ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；②当图形Y 为以(,0)T t 为半径的T e 时，若图形X 与图形Y 具有关系(,)X Y ϕ，求t 的取值范围．3．（2019•西城区二模）对于平面内的MAN ∠及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距离分别为1d ，2d ，称12d d 和21dd 这两个数中较大的一个为点P 关于MAN ∠的“偏率”．在平面直角坐标系xOy 中， （1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点． ①若点P 的坐标为(1,5)，则点P 关于MON ∠的“偏率”为 ；②若第一象限内点(,)Q a b 关于MON ∠的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为 ；（2）已知点(4,0)A ，(2B，，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）．若点C 关于AOB ∠的“偏率”为2，求点C 的坐标；（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为(,4)t ，T e 是以点T 为圆心，半径为1的圆．若T e 上的所有点都在第一象限，且关于EOF ∠t 的取值范围．4．（2019•东城区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作(,)d P AB ． 已知(2,0)A ，(0,2)B ． （1）求d （点O ，直线)AB ；（2）T e 的圆心为(,0)T t ，半径为1，若(,)1d T AB e …，直接写出t 的取值范围；（3）记函数y kx =，(11,0)x k -≠剟的图象为图形Q ．若(,)1d Q AB =，直接写出k 的值．5．（2019•石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h PQ =，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”． （1）已知点(4,0)A ；①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt ABC ∆是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线25y x =-上，则点B 的坐标为 ；（2）T e 的圆心为点(2,0)T ，半径为2，点M 的坐标为(2,6)，N 为直线4y x =+上一点，若存在Rt MND ∆，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与T e 有公共点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．6．（2019•平谷区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是C e 外一点，连接CP 交C e 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P '，当点P '在线段CQ 上时，称点P 为C e “友好点”．已知(1,0)A ，(0,2)B ，(3,3)C （1）当O e 的半径为1时，①点A ，B ，C 中是O e “友好点”的是 ；②已知点M 在直线2y =+ 上，且点M 是O e “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D ，连接BC ，BD ，CD ，T e 的圆心为(,1)T t -，半径为1，若在BCD ∆上存在一点N ，使点N 是T e “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．7．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω，如果在图形ω上存在点P ，(Q P ，Q 可以重合），使得2AP BQ =，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”． 已知O e 的半径为1，点(0,3)B ． （1）①点B 到O e 的最大值，最小值；②在1(5,0)A ，2(0,10)A ，3A 这三个点中，与点B 是O e 的一对“倍点”的是 ；（2）在直线y x b =+上存在点A 与点B 是O e 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点(,1)M m ，(1,1)N m +，若正方形上的所有点与点B 都是O e 的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．8．（2019•朝阳区二模）1(1,)2M --，1(1,)2N -是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：4590MPN ︒∠︒剟，则称点P 为线段MN 的可视点．（1）在点11(0,)2A ，21(,0)2A ，3A ，4(2,2)A 中，线段MN 的可视点为 ；（2）若点B 是直线12y x =+上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； （3）直线(0)y x b b =+≠与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围．9．（2019•顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，给出如下定义：点M 与点N 的“折线距离”为：1212(,)||||d M N x x y y =-+-．例如：若点(1,1)M -，点N (2,2)-，则点M 与点N 的“折线距离”为：(d M ，)|12||1(2)|336N =--+--=+=． 根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点P (3,2)-．①若点(2,1)A --，则(,)d P A = ； ②若点(,2)B b ，且(,)5d P B =，则b = ；③已知点(,)C m n 是直线y x =-上的一个动点，且(,)3d P C <，求m 的取值范围．（2）F e 的半径为1，圆心F 的坐标为(0,)t ，若F e 上存在点E ，使(,)2d E O =，直接写出t 的取值范围．10．（2019•北京）在ABC ∆中，D ，E 分别是ABC ∆两边的中点，如果¶DE 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称¶DE为ABC ∆的中内弧．例如，图1中¶DE 是ABC ∆的一条中内弧．（1）如图2，在Rt ABC ∆中，AB AC ==D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出ABC ∆的最长的中内弧¶DE，并直接写出此时¶DE 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A ，(0,0)B ，(4C t ，0)(0)t >，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若12t =，求ABC ∆的中内弧¶DE所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在ABC ∆中存在一条中内弧¶DE，使得¶DE 所在圆的圆心P 在ABC ∆的内部或边上，直接写出t 的取值范围．。