2.1 数列的概念与简单表示法第一课时 数列的概念与通项公式数列的概念[提出问题]观察下列示例，回答后面问题(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，12，13，14，15，16.(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16.(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，….(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，132，….问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 提示：按照一定的顺序排列． [导入新知] 数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [化解疑难]1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．2．项a n 与序号n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．3．{a n }与a n 是不同概念：{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…；而a n 表示数列{a n }中的第n 项.数列的分类[提出问题]问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项．[导入新知]数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[化解疑难]在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列．数列的通项公式[提出问题]问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示．[导入新知]数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式．[化解疑难]1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．数列的概念及分类[例1] (1)0,0,0,0,0,0；(2)0，－1,2，－3,4，－5，…； (3)0，12，23，…，n －1n ，…；(4)1,0.2,0.22,0.23，…； (5)0，－1,0，…，cos n2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号)[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列．[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5) [类题通法]判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．[活学活用] 给出下列数列：(1)2009～2016年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂……构成数列－2,4，－8,16，－32，…. (4)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，….分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列． 解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.无穷数列：3，3，3，3，…； －2,4，－8,16，－32，…； 1,1.4,1.41,1.414，…； 2,1.5,1.42,1.415，….递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135； 1,1.4,1.41,1.414，….递减数列：2,1.5,1.42,1.415，…. 常数列：3，3，3，3，…. 摆动数列有：－2,4，－8,16，－32，….由数列的前几项求通项公式[例2] (1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)112，245，3910，41617，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)． (2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n－1.(3)因为112＝1＋1212＋1，245＝2＋2222＋1，3910＝3＋3232＋1，41617＝4＋4242＋1，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝n ＋n 2n 2＋1.(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1nn ＋1.[类题通法]此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．这些方法的具体对象为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)0，22－25，32－310，42－417，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1，15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)因为5＝22＋1,10＝32＋1,17＝42＋1，所以数列的一个通项公式为a n ＝n 2－n n 2＋1(n ∈N *)．(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为a n ＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).通项公式的简单应用[例3] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．[解] (1)由通项公式a n ＝n 2n 2＋1可得a 4＝4242＋1＝1617，a 7＝7272＋1＝4950.(2)令n 2n 2＋1＝910，得n 2＝9， 所以n ＝3(n ＝－3舍去)，故910是该数列中的项，并且是第3项； 令n 2n 2＋1＝110，得n 2＝19，所以n ＝±13，由于±13都不是正整数，因此110不是数列中的项．[类题通法]1．数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．[活学活用]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝q n，且a 4－a 2＝72. (1)求实数q 的值；(2)判断－81是否为此数列中的项． 解：(1)由题意知q 4－q 2＝72⇒q 2＝9 或q 2＝－8(舍去)， ∴q ＝±3.(2)当q ＝3时，a n ＝3n，显然－81不是此数列中的项； 当q ＝－3时，a n ＝(－3)n， 令(－3)n＝－81＝－34，也无解． ∴－81不是此数列中的项.2.牢记数列中n ∈N *[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，求n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．[解] ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，∴可知对称轴为n ＝52＝2.5.又n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值， 其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2. [易错防范]1．忽视了借助二次函数求最值，而认为当n ＝1时取得最小值． 2．由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94知n ＝52时取最小值，忽视n ∈N *.3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．[成功破障]求数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项．解：已知－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058，由于n 为正整数，故当n ＝2时，取得最大值为13，所以数列{－2n 2＋9n ＋3}中的最大项为第2项，值为13.[随堂即时演练]1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④解析：选D 数列是按“一定顺序”排列的一列数．因此选D.注意此题易错选B. 2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：选C ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08， 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．∵a n ＝3－2n，∴a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15.答案：3－4n154．若数列{a n }的通项满足a n n＝n －2，那么15是这个数列的第________项． 解析：由a n n＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ， 令n 2－2n ＝15，得n ＝5(n ＝－3舍去)． 答案：55．已知a n ＝2n3n ＋2.(1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n .解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n3n ＋2， 得a 3＝2×33×3＋2＝611.(2)将a n ＝813代入a n ＝2n3n ＋2，得813＝2n3n ＋2，解得n ＝8. [课时达标检测]一、选择题1．下面有四个结论： ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． 其中叙述正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选B 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确．2．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n·(2n－1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n－1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)解析：选A 数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n－1)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．下列命题： ①已知数列{a n }，a n ＝1nn ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1； ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列． 其中正确命题的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A 对于①，令a n ＝1n n ＋2＝1120⇒n ＝10，易知最大项为第1项．①正确．对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…⇒a n ＝3n －1.②正确．对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29. ③正确．对于④，由a n ＋1－a n ＝3＞0，易知④正确． 二、填空题6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4(n ＝－5舍去)，所以110是第4项． 答案：47．已知数列{a n }的前4项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n＋n .答案：a n ＝10n＋n8．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－8n ＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析：令a n ＝n 2－8n ＋12＜0， 解得2＜n ＜6， 又因为n ∈N *，所以n ＝3,4,5，一共有3项． 答案：3 三、解答题9．求下列数列的一个可能的通项公式： (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,10,2,11,3,12，…；(3)1＋12，1－324，1＋526，1－728，….解：(1)a n ＝(－1)n ＋1或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数.(2)a n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12，n 为奇数，n2＋9，n 为偶数或a n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋192＋－1n×172. (3)a n ＝1＋(－1)n ＋12n －122n.10．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)．(1)写出a 10，a n ＋1，a 2n ；(2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项．解：(1)a 10＝102＋10－13＝1093，a n ＋1＝n ＋12＋n ＋1－13＝n 2＋3n ＋13， a n 2＝n 22＋n 2－13＝n 4＋n 2－13.(2)假设7923是该数列的第n 项，则7923＝n 2＋n－13，∴n 2＋n －240＝0.解之，得n ＝15或n ＝－16(舍去)． 故7923是该数列的第15项．11．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 015；(3)2 016是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)a 2 015＝4×2 015－2＝8 058.(3)令2 016＝4n －2，解得n ＝504.5∉N *， ∴2 016不是数列{a n }中的项．12．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.(1)求a 3＋a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解：∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.②由①②，得a n ＝n2n －12(n ≥2)．(1)∵a n ＝n 2n －12(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.(2)∵256225＝162152＝a 16，∴256225是数列中的第16项． (3)n ≥2时，a n －a n ＋1＝n 2n －12－n ＋12n 2＝n 4－n 2－12n －12n 2＝2n 2－1n 2n －12>0，∴a n >a n ＋1.。