一次函数的应用例题精讲【例1】小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里．图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是（）分)分)分)分)A B C D【答案】D【例2】小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟【解析】由题上班是平路用时3分钟走1千米，所以平路的速度是13千米/分，同理上坡路的速度为15千米/分，下坡的速度为12千米/分，所以下班先走上坡路用时12105÷=分，再走下坡路用时1122÷=分，最后走平路用时1133÷=分，所以下班共用时15分钟。

【答案】B【例3】 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，1l 、2l 分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y （千米）与所用时间x （分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（ ） A ．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B ．步行的速度是6千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了20分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【答案】D【例4】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出．某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示．通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水．其中正确的是（ ） A ．⑴B ．⑶C ．⑴⑶D ．⑴⑵⑶甲 乙 丙(小时)))【解析】由甲图可知进水口每小时进水10立方米，由乙图可知出水口每小时出水20立方米，看丙图，前3小时蓄水量由0达到60，说明开了两个进水口，关闭出水口，所以⑴对；3点到4点的一个小时内蓄水量减少10立方米，必然是只开一个进水口，同时打开出水口，⑵错；4点到6点蓄水量不变可能是即不进水，也不出水，也可能同时打开3个水口，⑶错．【答案】A【例5】 如果等腰三角形的周长为16，那么它的底边长y 与腰长x 之间的函数图像为（ ）ABCD【解析】由题意得函数关系式为y 216x =-+，根据三角形三边关系2x y >，即2216x x >-+，得4x >，又因为216x <，所以8x <，确定自变量的取值范围48x <<【答案】A【例6】 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【解析】了解P 点的运动路线，根据已知矩形的长和宽求出当点P 运动到C 点时的S 值为1，即当x 为1时的S 值为1，之后面积保持不变．【答案】B【例7】 汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．现甲、乙两车在一个弯道上相向而行，在相距16米的地方发现情况不对，同时刹车，根据有关资料，甲、乙两车刹车距离S （米）与车速v （千米/时）之间与如图所示．若甲、乙两车的速度都是60千米/时，两车是否相撞？说说你的理由．【答案】由题意得：1S 6v =甲，1S 8v =乙，当速度均为60千米/时的时候，160106S =⨯=甲千米，1607.58S =⨯=乙千米，因为107.517.5+=千米/时16>千米/时所以两车会相撞【例8】 右图是某汽车行驶的路程()S km 与时间()min t 的函数关系图．观察图中所提供的信息，解答下列问题：⑴汽车在前9分钟内的平均速度是 ； ⑵汽车在中途停了多长时间？ ； ⑶当3016t ≤≤时，求S 与t 的函数关系式．【答案】⑴4/min 3km ；⑵7分钟；⑶()3022016t S t =-≤≤．【例9】 某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米；4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地带，风速平均每小时增加4千米；此后风速保持不变；当D C P B AB ．C ．D ．沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米，最终停止（如图所示）．⑴在沙尘暴从发生到结束的全过程中，0时至10时风速是否在不断变化？什么时间内风速保持不变？⑵在4时和12时的风速各是多少？图中的A 、B 分别表示什么？ ⑶沙尘暴是经过几个小时后停止的？【答案】⑴沙尘暴分四个阶段：04-小时，风暴平均每小时增加2千米/时； 410-小时，风速平均每小时增加4千米/时； 1025-小时，风暴速度保持不变；25小时后风暴速度平均每小时减小1千米/时，最终停止． 因此，0时至10时风速是在不段变化，在10时至25时的时候，风暴速度保持不变．⑵由题意，得：04-小时：2(04)y x x =≤＜ 410-小时：48(410)y x x =-≤＜； ∴4y =时，8x =；10y =时，32x =∴在4时的速度为8千米/时，12时的速度为32千米/时 ⑶由题意，得：1025-小时：32(1025)y x =≤＜； 25小时—风暴停止： 57(2557)y x x =-+≤≤．0y =时，57x =∴沙尘暴是经过57小时后停止的．【例10】2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港． ⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？【解析】⑴乙队先达到终点，对于乙队，1x =时，16y =，所以16y x =，对于甲队，出发1小时后，设y 与x 关系为y kx b =＋，将1x =，20y =和 2.5x =，35y =分别代入上式得： 2035 2.5k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：1010y x =＋ 解方程组161010y x y x =⎧⎨=+⎩ 得：53x =，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队．⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，时间/时乙队追上甲队后，两队的距离是16(1010)610x x x -+=-，当x 为最大，即3516x =时，610x -最大，此时最大距离为35610 3.125416⨯-=<，（也可以求出AD CE 、的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远【答案】⑴乙队先达到终点，甲队出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队；⑵甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远【例11】小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （时）之间关系的函数图象．⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ ⑵小明出发两个半小时离家多远？ ⑶小明出发多长时间距家12千米？时间（小时）46532120510152530【解析】⑴由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时，此时，他离家30千米．⑵∵小明出发2小时时，离家15千米．由于在CD 段小明走的路程为15千米，时间为1小时，故小明这一段的速度为15千米/时． ∴150.57.5⨯=（千米） ∴7.51522.5+=（千米）∴小明出发两个半小时离家22.5千米．⑶由图象可以看出小明从出发到距离家12千米有两个时刻，一是在AB 段，二是在EF 段，故分两种情况：①∵小明出发到1小时时，匀速前行，其速度为15千米/时 ∴12150.8÷=（时），0.8小时=48分 ②∵小明出发4小时后返回， ∴返回时速度为30215÷=（千米/时） ∴301215 1.2-÷=（）（时）1.2时=1小时12分∴4小时+1小时12分=5小时12分故小明出发48分和出发5小时12分时离家都为12千米．【答案】⑴3小时，30千米；⑵22.5千米；⑶48分或5小时12分【例12】A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．⑴设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；⑵若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？⑶求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？【解析】由已知条件填出下表：⑴依题意得函数式：=+=+--+--+W x x x x x300500(6)400(10)800[8(6)]2008600⑵由20086009000x≤，＝＋，得2W x≤∴0,1,2x=，共有3种调运方案．⑶当0x=时，总运费最低，即从A市调10台给C村，调2台给D村，从B市调6台给D村，为总运费最低的调运方案，最低运费为8600元．【答案】⑴2008600=+；⑵3；⑶8600W x【例13】某电信局收取网费如下：163网网费为每小时3元，169网网费为每小时2元，但要收取15元月租费．设网费为y（元），上网时间是x（小时），分别写出y和x的函数关系式，某网民每月上网19小时，他应选哪种上网方式比较划算？【解析】y和x的函数关系式如下：163网：3=+．y x=；169网：215y x在163网中当19x =时，57y =；在169网中当19x =时，53y =；故应该选169网． 【答案】169网【例14】某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折（即按全票价的60%收费）优惠．”若全票价为240元．⑴设学生数为x ，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；⑵当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样； ⑶就学生数x 讨论哪家旅行社更优惠．【解析】⑴120240y x =+甲， ()24060%1144144y x x =⋅+=+乙．⑵根据题意，得120240144144x x +=+， 解得 4x =． 答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多． ⑶当y y >乙甲，120240144144x x +>+， 解得 4x <． 当y y <乙甲，120240144144x x +<+ ， 解得4x >．答：当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠．【答案】⑴120240y x =+甲， ()24060%1144144y x x =⋅+=+乙；⑵当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多；⑶当学生人数少于4人时，乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠．【例15】北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求： ⑴若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台？ ⑵若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案？ ⑶求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元？【答案】设上海厂运往汉口x 台，那么上海运往重庆有()4x -台，北京厂运往汉口()6x -台，北京厂运往重庆()4x +台，则总运费W 关于x 的一次函数关系式： ()()()3465484762W x x x x x =+-+-++=+．⑴当84W = （百元）时，则有76284x +=，解得4x =． 若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台． ⑵当82W ≤ （元），则0476282x x ≤≤⎧⎨+≤⎩解得03x ≤≤，因为x 只能取整数，所以x 只有四种可的能值：0、1、2、3．答：若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案．⑶因为一次函数762W x =+随着x 的增大而增大，又因为03x ≤≤，所以当0x =时，函数762W x =+有最小值，最小值是76W = （百元），即最低总运费是7600元． 【例16】某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本息和（本金与利息的和）y （元）与所存月数x 之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和．【解析】∵利息＝本金×月利率×月数，∴100100036100036y x x =+⨯⨯=．％+．．当5x =时，10003651018y =⨯=+．．，即5个月后的本息和为1018．元． 【答案】100036y x =+．，5个月后的本息和为1018．元．【例17】某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品所收到的总金额）为60万元．由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润情况如表2．表1 表2x （万元）、y （万元）、z （万元）（x y z ，，都是整数）． ⑴ 请用含x 的代数式分别表示y 和z ；⑵ 若商场预计每日的总利润为C （万元），且C 满足1919.7C ≤≤，问这个商场应怎样分配日营业额给三个经营部？各部应分别安排多少名售货员？【解析】⑴由题意得60542190x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，解得3352522x y x z =-=+， ⑵0.30.50.20.3522.5C x y z x =++=-+．因为1919.7C ≤≤，所以90.3522.519.7x ≤-+≤，解得810x ≤≤． 因为x 、y 、z 是正整数，且x 为偶数，所以8x =或10． 当8x =时，23,29y z ==，售货员分别为40人，92人，58人； 当10x =时，2030y z ==，，售货员分别为50人，80人，60人． 【答案】⑴3352522xy x z =-=+，；⑵当8x =时，23,29y z ==，售货员分别为40人，92人，58人；当10x = 时，2030y z ==，，售货员分别为50人，80人，60人．课后作业1． 东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本(10)x x ≥本．⑴写出每种优惠办法实际的金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式； ⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．【解析】⑴依题意，得25105(10)5200(10)y x x x =⨯+-=+≥甲(25105)90% 4.5225(0)y x x x =⨯+⨯=+≥乙⑵由⑴，有y 甲-y 乙=0.525x -； 若0y y -=乙甲，解得50x =； 若y 甲-y 乙>0，解得50x >； 若y 甲-y 乙<0，解得50x <；∴当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．⑶①因为6050>，由⑵知，不考虑单独选用优惠办法甲购买．若只用优惠办法乙购买10枝毛笔和60本书法练习本，需付款(2510560)90%495⨯+⨯⨯=（元）． ②若用优惠办法乙购买m 枝毛笔，则需用优惠办法甲购买(10)m -枝毛笔，用优惠办法乙购买60(10)50m m --=+本书法练习本．设付款总额为p ，由[]25(10)255(50)90%2475p m m m m =-+++⨯=+(010)m ≤<． ∵p 随m 增大而增大，∴当0m =时，即用优惠办法甲购买10枝毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，p 取得最小值为20475475p =⨯+=最小值（元）∴选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．【答案】⑴25105(10)5200(10) y x x x=⨯+-=+≥甲，(25105)90% 4.5225(0) y x x x=⨯+⨯=+≥乙；⑵当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．⑶选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．2. 甲乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的方案：甲超市累计购买商品超出300元后，超出部分按原价的8折优惠，在已超市累计购买商品超出200元后，超出部分按原价8．5折优惠．设顾客预计累计购物X元．（X>300）试比较顾客到哪家超市购物更实惠？说明理由【解析】设在甲超市所付的购物费用为y甲元，在乙超市所付的购物费用为y乙元，由题意可得，y 甲=300+0．8（x-300）=60+0．8x，y乙=20090%200)0.920(300)x x x+⨯-=+>（当y甲=y乙时0.9200.860x x+=+，解得400x=；当y甲<y乙，时0.9200.860x x+<+，解得400x>；当y甲>y乙，时0.9200.860x x+>+，解得400x<．所以当购买多于300元而少于400元的商品时，选择乙超市比较优惠，当购买400元的商品时，两个超市费用相同，选择哪个都可以，当购买商品大于400元时，选择甲超市比较优惠．【答案】所以当购买多于300元而少于400元的商品时，选择乙超市比较优惠，当购买400元的商品时，两个超市费用相同，选择哪个都可以，当购买商品大于400元时，选择甲超市比较优惠．3．抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A B，两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨．从甲、乙两库到A B，两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）⑴若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A B，两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式．⑵当甲、乙两库各运往A B，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【解析】⑴依题意有：12201025(100)1215(70)820[110(100)]3039200 y x x x x x=⨯+⨯-+⨯-+⨯⨯--=-+其中070x≤≤⑵上述一次函数中300k=-<∴y随x的增大而减小∴当70x=吨时，总运费最省最省的总运费为：30703920037100(-⨯+=元）答：从甲库运往A库70吨粮食，往B库运送30吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省为37100元．【答案】⑴3039200=-+；⑵从甲库运往A库70吨粮食，往B库运送30吨粮食，从乙库运往B库80吨y x粮食时，总运费最省为37100元．初中数学.一次函数A级.第04讲.教师版Page 11 of 11。