第六章 数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。

注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。

知识网络四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni in n aa a a a S 13212．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 课前热身3．数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( B )A ．第４项B ．第５项C ．第６项D ．第７项4．已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞-5．数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ,，则⎩⎨⎧≥-=-=25212n n n a n题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为),110(97-⨯),110(972-)110(973-，, )110(97-n⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。

可得数列的通项公式为2)1(1nn n a -++=解析：⑴当123,1111=-===S a n 时， 当)23()23(,211---=-=≥--n nn n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n解析：⑴因为14121-+=+n a a n n ，所以)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n所以)3111(2112-=-a a)5131(2123-=-a a43111()257a a -=-…，…，1111()22321n n a a n n --=---以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n 即：24342411--=--=n n n a n课外练习解：因为0221321113212211<+-+=+-+++=-+n n n n n a a n n所以n n a a <+1，选Ｃ．解：构造函数99989919998--+=--=x x x y由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y 函数在），＋∞99(上递增且1>y最小最大，），又910921301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ 三、解答题6.2等差数列课前热身1651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a。

解：0912129=-=S S S S ，003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

解：∵，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，前10项的和为10100=S11022101010010221029101010011010100110-=-⋅++=∴+=--=∴=⨯⨯+⨯∴）（又，S DS S S D D 10210102)10(29840242)1(129850max 22==+--=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=y n n n n n n n n y 时，所以当 ６．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=解3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133-<<--<∴<+∴<+=+=+=->∴>+∴>+=d d d d a a a a a S d d d a 从而又 ②最大。

，6677137612000130)(6S a a a S a a S ∴><∴<=>+=课外练习 一、 选择题1． 已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( D )32313132．．．．D C B A --2． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（ A ）A ．15B ．30C ．31D ．64151212497=∴+=+a a a a a 解：二、填空题3． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==544． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则5． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点,),2,1(321F P F P F P i P i ，，使=组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-10100101，， 解：椭圆的焦点F 到椭圆上的点最大、最小距离分别为）和（17)17(-+，由题意得：1010010101012011217)117≤<<≤-∴≠≤∴≥--=∴+=-+-d d d d n n d d n 或，又（）（ 三、解答题6． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组，由2)1(1dn n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n 7． 甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：舍去），解得(2077052)1(2-===+-+n n n n n n 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。

②设n 分钟后第二次相遇，则：舍去），解得(281570352)1(2-==⨯=+-+n n n n n n 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(21-++=n na n S []nn n n n n n n n n nn n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=-=∴-++=∴+++++++++++整理得，nn n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列③)32)(12(111++=+n n a a n n61)32131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴⎪⎭⎫⎝⎛+-+=*n n T N n n n n T n n 时，又当 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n 都成立，M 的最小值为61。

6.3等比数列知识要点1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠q q ，（。

2． 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为acb ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5． 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中 ①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若反之不真！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

④ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c c na ，是等比数列； ②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列；④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。