.第一课时 数列知识要点一、 数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记 n a .2．数列 n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

3．数列可以看做定义域为N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

二、数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。

三、 数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。

3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。

四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．ni in n aa a a a S 13212．2111n S S n S a n n n课前热身1．数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．)1(2n n a n B ．12n a n C ．2)1(n n a nD ．2)1( n n a n 2.在数列 ,55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．133．数列 n a 的通项公式为 n n a n 2832,则数列各项中最小项是( )A ．第４项B ．第５项C ．第６项D ．第７项4．已知数列 n a 是递增数列，其通项公式为n n a n 2,则实数 的取值范围是5．数列 n a 的前n 项和142n n S n ,，则典例精析题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，…⑵,638,356,154,32 ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 题型二 应用)2()1(11n S S n S a n n n求数列通项例2．已知数列 n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23 nn S ⑵)0()2(812 n n na a S三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列 n a 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴141,21211n a a a n n(2),0,11 n a a 0)1(1221 n n n n a a na a n ，⑶121,111n n a a a数学门诊已知n S 是数列 n a 的前n 项和，且满足21223 n n n S a n S ，其中 4,3,2,0 n a n ，又21 a ，求数列 n a 的通项公式。

课堂演练1． 若数列 n a 的前n 项的323n n a S ，那么这个数列的通项公式为（ ） A ．132 n n a B ．nn a 23 Ｃ．33 n a n Ｄ．nn a 322．已知数列 n a 满足01 a ，1331n n n a a a （N n ），则 20a （ ）Ａ．0 Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．234.已知数列 n a 满足,11 a)2(,311n a a n n n ，⑴32a a 和求 ⑵证明：213 n n a知识要点1． 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d 表示。

2．递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：由此联想到点),(n a n 所在直线的斜率。

为常数）即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1),为常数，（m k m kn a n 是数列 n a 成等差数列的充要条件。

３．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2ca b ；c b a ,,成等差数列是c a b 2的充要条件。

４．前n 项和公式2)(1n a a S n n ； 2)1(1d n n na S n变式：12);2()1(2)1(2121211 n S a dn a d n a na a a n S a a n n n n n n),()(,)2(22212为常数即特征：B A BnAn S Bn An n f S n da n d S n n n是数列 n a 成等差数列的充要条件。

5．等差数列 n a 的基本性质),,,(N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m ，则若反之，不成立。

⑵d m n a a m n )( ⑶m n m n n a a a 2⑷n n n n n S S S S S 232,, 仍成等差数列。

６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（ N n d a a n n (1 n a 是等差数列②中项法：)221 N n a a a n n n （ n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n n a 是等差数列 课前热身：1．等差数列 n a 中，,39741 a a a963852,33a a a a a a 则（ ）A ．30B ．27C ．24D ．21 2．等差数列 n a 中，)(31,1201191210864Ca a a a a a a 的值为则A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列 n a 的前n 项和为n S ，当d a ，1变化时，若 1182a a a 是一个定值，那么下列各数中也是定值的是）8201513S C S B S B S A ．．．．5．设n S ，n T 分别为等差数列 n a 与 n b 的前n 项和19195224T S n n b a n n ，则 典例精析一、等差数列的判定与基本运算例1：⑴已知数列 n a 前n 项和n n S n 92①求证： n a 为等差数列；②记数列 n a 的前n 项和为n T ，求 n T 的表达式。

⑵数列 n a 中，n S 是前n 项和，当2 n 时，)21(2n n n S a S ①求证：n S 1是等差数列，②设12 n S b nn ，求 n b 的前n 项和n T二、公式的应用例2：设等差数列 n a 的首项1a 及公差d 都为整数，前n 项和为n S①若9801411 S a ，，求数列 n a 的通项公式 ②若770614111 S a a ，，，求所有可能的数列 n a 的通项公式 三、性质的应用例3：已知等差数列 n a 中，公差d >0前n 项和为n S ，且满足：14454132 a a a a ，，①求数列的通项公式；②设cn S b nn，一个新数列 n b ，若 n b 也是等差数列，求非零常数c ；③求1)25()( n n b n b n f （N n ）的最大值 数学门诊若数列 n a 是等差数列，数列 n b 满足21 n n n n a a a b （ N n ）， n b 的前n 项和为n S ，已知083125 a a ，试问n 为何值时，n S 取得最大值？并证明你的结论。

课堂演练1．设n S 是等差数列 n a 的前n 项和，若1266331S SS S ，则（） A ．103 Ｂ．31 Ｃ．81 Ｄ．91２．在等差数列 n a 中132321 a a a ，， 则654a a a 等于（ ）A ．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．453．等差数列 n a 中，12910S S a ，，则前____项的和最大。

4．已知等差数列 n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为６．设等差数列 n a 的前n 项和为n S ，已知001213123 S S a ，， ①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理6.3等比数列知识要点1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0 q q ，（。

2． 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a 推广：通项公式：递推关系：111 3． 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b 2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

4． 前n 项和公式)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n5． 等比数列的基本性质，),,,(N q p n m 其中 ①q p n m a a a a q p n m ，则若反之不真！ ②)(2N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③ n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。

④ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321 仍成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化 ① n a 是等差数列)10( c c cna ，是等比数列；② n a 是正项等比数列)10(log c c a n c ，是等差数列；③ n a 既是等差数列又是等比数列 n a 是各项不为零的常数列。

7． 等比数列的判定法 ①定义法：（常数）q a a nn 1n a 为等比数列； ②中项法： )0(221n n n n a a a a n a 为等比数列；③通项公式法： 为常数）q k qk a nn ,( n a 为等比数列；④前n 项和法：为常数）（q k q k S n n ,)1( n a 为等比数列。

课前热身1． 如果-1，c b a ,,，-9成等比数列，那么（ ） Ａ．b =3，ac =9 B ．b =-3，ac =-9 Ｃ．b =3，ac =-9 D ．b =-3，ac =-92． 在等比数列 n a 中，若206574 a a a a ，则此数列的前10项之积等于（ ）1051010102050．．．．D C B A3． 103107422222)( n n f 设)18(72)18(72)18(72)18(72)()(431 n n n n D C B A D n f N n ．．．．）（等于，则4． 已知数列 n a 是等比数列，且 m m m S S S 323010，则， 5． 在数列 n a 中，若)1(32111 n a a a n n ，，则通项n a =典例精析一、 等比数列的基本运算与判定 例1：⑴设首项为)0(1 a aa ，公比为q 的等比数列的前n 项和为80，前2n 项的和为6560，求此数列的首项与公比。