(10)∫ sec xtan x dx = sec x + C.
(11) ∫ csc x cot x dx = −csc x + C.
(12) ∫ 1 1 − x2 1 (13) ∫ dx = arctan x + C. 2 1+ x dx = arcsin x + C.
xα+1 xα dx = +C ∫ α +1
= sec x,
所以，已给等式成立.
当（sec x + tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立. <
综上所述，已给等式成立.
例7
已知某曲线过点(1,2), 其上∀点( x, y )处切线
求其方程 的斜率为x的两倍，
解
设曲线方程 y = f ( x)
f ′( x) = 2 x
y
则由题意知
∴ f (x) = ∫ 2 xdx = x 2 + C
2 nห้องสมุดไป่ตู้
性质1可以推广到有限多个函数的情形， 性质 可以推广到有限多个函数的情形，即 可以推广到有限多个函数的情形
∫[ f (x) ± f (x) ±L± f (x)]dx
1
= ∫ f1(x)dx ±∫ f2 (x)dx ±L± ∫ fn (x)dx.
性质2 性质
被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
定义:∫ f ( x )dx表示函数f ( x )的原函数的全体,
则称
∫ f ( x )dx
为 f ( x ) 的不定积分
即
积分变量
∫
积 分 号
f ( x )dx = F ( x ) + C
被 积 函 数
被积表达式
∀ 常 数 项
例3 解 例4
求∫ x 5dx
x6 Q ( )′ = x 5 , 6
x6 ∴ ∫ x 5dx = +C 6
1 dx 求∫ 2 1+ x ′ 解 Q (arctan x ) =
1 1 + x2
1 dx = arctan x + C ∴∫ 2 1+ x
例5
解
1 求∫ dx x
1 当x > 0时，有(ln x)' = . x 1 ∫ xdx = ln x + C ( x > 0)
F ′( x) = f ( x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是 唯一的,且有无穷多个
Q 若 F ′( x) = f ( x),
则 [ F ( x) + C ]′ = f ( x)
即若 F ( x) 是 f ( x) 的原函数， F ( x) + C 亦是 . 则
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意 两个原函数只差一个常数项.
例8
求 ∫ x 2 xdx
5 2
5 +1 2
x 2 7 解 ∫ x 2 xdx = ∫ x dx = +C = x2 + C. 5 7 +1 2 1 例9 求 ∫ 3 dx x x
解
∫ x3
1
x 2 2 + C= − x + C . dx = ∫ x dx = 7 x 5 − +1 2
−
7 2
7 − +1 2
1 1 1 当x < 0时， 有[ln(− x)]' = ⋅ (−1) = , ⋅ (− x)' = −x −x x
1 ∴ ∫ dx = ln(− x) + C ( x < 0) x
当 > 0, x ln x ln x = x ln(−x) 当 < 0,
1 所以∫ dx = ln x + C x ( x ≠ 0).
2 =8 LL (1)
若也熟悉导数运算： F(x)已知，f (x)未知，由F(x)
2 ′ ) = 2 x LL ('1 → (fx(x),则称（）)' 3 式为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知，F(x)未知，由f (x) → F(x),则 称（） 3 '式为积分运算，称F(x)为
号的前面. 号的前面.
(2)
∫ kf ( x)dx = k∫ f ( x)dx.
(常数 k ≠ 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
性质1 性质
函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) 证
∫[ f ( x) ± g( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx;
只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
例1
(sin x = cos x
′ )
∴ sin x 是 cos x 的一个原函数 ( −∞ , ∞ )
1 ∴ ln x 是 的一个原函数 (0, +∞ ) x
1 (ln x = x
)′
例如
在 (−∞, +∞)上 sinx是 cos x 的原函数 而
sin x + 1,sin x + 2 sin 1,sin x + 3 也是它的原函数
即 sinx 加任意常数都是 cos x 的原函数. 的原函数
这样就给我们提出了问题： 原函数存在的条件？ 原函数有多少个？ 这些原函数之间有何关系？ 如何求出这些原函数？
原函数存在定理 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)
在区间I上的原函数一定存在.
例2
f ( x) = x 2 ∈ CR
1 3 ∃F ( x) = x , 3
(4) ∫ ax dx = a + C. lna
x
(5) ∫ e dx = e + C.
x x
(6) ∫ sin x dx = −cos x + C
(7) ∫ cos x dx = sin x + C.
dx (8) ∫ 2 = ∫ csc2 x dx = −cot x + C. sin x
dx (9) ∫ 2 = ∫ sec2 x dx = tan x + C. cos x
第四章 积分及其应用 本章主要内容
一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、 积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。 §4.1不定积分概念与性质 4.1不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质
回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.” 那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学. 提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。 要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
+C
∫
x
x
( 2e ) x +C = ∫ ( 2e ) x dx = ln( 2e )
2x 练习： 练习： 求 ∫ x dx e
三、不定积分的运算性质
性质1 性质 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数 和，即 (1)
∫[ f ( x) ± g( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx;
x3 − 3 x2 + 3 x − 1 ( x − 1) dx 练习 ∫ dx = ∫ 2 2 x x
3
解
x − 2 dx. 例13 求 ∫ 2 x +1 4 (x2 −1)(x2 +1) −1 −2 x dx ∫ 2 dx = ∫ 2 x +1 x +1
5
例10 求（） 1 dx, （ ）2x exdx 1∫ 3 2∫
解
ax +C axdx = ∫ lna
1 3
x x
(1) ∫ 3 dx = x dx = 1 x ∫ x x − 4 +1 3
2x x (2) 2 e dx = ⋅e +C ln 2
1
4 − 3
4 − +1 3
+ C = −3 x
−
[∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx]' = [∫ f (x)dx]' ±[∫ g(x)dx]'
= f (x) ± g(x)，
这说明 ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx 是函数 f (x) ± g(x) 的不定积分，所以欲证的等式成立.
例11 求 解
− 5x2 + 4x − 3)dx. ∫ (2x
O
y
y = F ( x) + C
y = F (x )
x
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k, 因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)) 为积分曲线在( 为积分曲线在 处的切线斜率. 处的切线斜率.
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 y = f ( x),依题意可知
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已 知 ， b未 知 ， 由 a 我们熟悉乘方运算： → b , 则 称 （3） 式 为 乘 方 3 运 算 ， 称 b为 a的 立 方 。 若 b已 知 ， a 未 知 ， 由 于是提出新问题： 3 b (→ = 8则LL (23） 式 为 ?) a , 称 （ )