b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
性质6（估值定理） 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证
b
b
b
m f ( x) M , a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
注 对定义的几点说明 (1) 如果 f ( x)在[a,b]上可积， 则积分值与区间
[a,b] 的分法无关, 也与点 i 的取法无关 .
n
(2) 当和 f (i )xi 的极限存在时,其极限值 I 仅与 i 1
被积函数 f ( x) 和积分区间[a,b]有关, 而与积分
变量的记法无关,
即:
得
Ai f (i )xi (xi xi xi1 y
3) 求和
n
n
A Ai f (i )xi
i 1
i 1
O a x1
i
xi1 xi
4) 取极限
n
令
则曲边梯形面积 A
lim
0
i 1
f ( i )xi
求极限的过程是：
y
f (x)
而不是：
(因为
不能保证
每一个区间都趋于零)
Oa
x1 n b x
y
y x2
取
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
i 1x
n
n
i1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1)
1 0
x2
6 dx
n lim
0
n
i 1
n i 2 xi
y
y x2
lim
n
1
o
i 1x
3
n
例2. 用定积分表示下列极限（补充）
得
si v( i )ti (i 1, 2, ,n)
3) 求和.
4) 取极限.
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
曲边梯形的面积 变速直线运动的距离
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割，近似代替，求和 , 取极限. ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
并作和S f (i )xi ，记 max{ x1 , x2 , , xn }，
i 1
如果不论对[a, b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在即区间ab[af ,(bx)]上dx的定li积m0分in，1 记f (为i )
用任意一组分点 T1 t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn T2
将时间区间 [T1 ,T2 ] 分成 n个小区间, 第 i 个小区间的 长度为: ti ti ti1 , (i 1,2,L , n), 第i 个小区间上
物体经过的路程为
n
则 s si .
i 1
2)近似代替：
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba
性质5（非负性）如果在区间[a,b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
.
(a b)
证
f ( x) 0,
f
n
(
i
)
0,
(i 1,2, ,n)
xi 0, f (i )xi 0,
lim0min1axf{(xi )1, xxi 2i,1ab
,xn } f ( x)dx
0.
推论1. 若在 [a , b] 上
则
(a b)
(比较性质)
书上习题5-1第12题（2）结论：设f (x)在a,b上连续，
若在a,b上, f (x) 0, f (x) ≡
0 ,则 b f (x) 0 a
例3 根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：
（1）1 x2dx与
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证 设 f ( x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M ,
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M (b
a)
m
1b
b a a
f
( x)dx
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n
p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
2 变速直线运动的距离. 分析:
匀速直线运动: s v t.
变速直线运动：速度 v v(t ) 是时间 t 运动的距离 s
v(t)
.
O T1
. T2
t
用类似的方法解决如下：
v( i )
1)分割：
O T1 t0 t1 t2
ti1 ti
t tn T2
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2)近似代替：在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ], 作以 [xi1 , xi ] 为底 , 以 f (i ) 为高的窄矩形, 并以此窄
矩形面积近 似 代 替相 应窄曲边梯形面积
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
证
b
a[ f ( x) g( x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f (i )xi
lim
0
i 1
g(i
)xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
bn
nb
[ fi ( x)]dx fi ( x)dx
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
说明:
• 积分中值定理对
b
• 可把 a f (x) dx f ( )
ba
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 矩形公式
近似计算 梯形公式
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
一、定积分问题举例
A
矩形面积 A a h
A
梯形面积 A h(a b) 2
1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
由连续曲线 y f ( x) ( f ( x) 0)
Oa
A?
y f2(x)
y f1( x)
a
b
bx
以及两直线 所围成的图形称为曲边梯形.
求曲边梯形的面积 A .
曲边梯形面积A的具体计算步骤： 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, ) n
性质3说明：定积分对于积分区间具有可加性。
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.