函数知识点
一．考纲要求
注：ABC分别代表了解理解掌握
二．知识点
一、映射与函数
1、映射f：A→B 概念
（1）A中元素必须都有象且唯一；
（2）B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2、函数f：A→B 是特殊的映射
(1)、特殊在定义域A 和值域B都是非空数集。
函数y=f(x)是“y是x 的函数”
这句话的数学表示，其中x是自变量，y是自变量x的函数，f 是表示对应法则，
它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，
也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与 x 轴至多有一个公共 点，但与
y 轴的公共点可能没有，也可能是任意个。
（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。
）
（2）、函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决 定作用的
要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
二、函数的单调性 它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的。
判断方法如下：
1、作差（商）法（定义法）
2、导数法
3、复合函数单调性判别方法（同增异减）
三．函数的奇偶性
⑴偶函数：)()(x f x f =-
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)()
(-=-x f x f ※四．函数的变换
①()()y f x y f x =⇒=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像
就是()y f x =-的图像；
⇒
②()()y f x y f x =⇒=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像；
⇒
③()|()|y f x y f x =⇒=：将函数()y f x =的图象在x 轴下方的部分对称到x 轴的上方，连同函数()y f x =的图象在x 轴上方的部分得到的新的图像就是|()|y f x =的图像；
⇒
④()(||)y f x y f x =⇒=：将函数()y f x =的图象在y 轴左侧的部分去掉，函数
()y f x =的图象在y 轴右侧的部分对称到y 轴的左侧，连同函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分得到的新的图像就是(||)y f x =的图像
.
⇒
注：
（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴；
（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=
2
b
a +是f(x)的对称轴. 五、指数函数与对数函数的图像和性质
一．指数函数
（一） 指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的
n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，
⎩
⎨
⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n
n 2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m )1,,,0(1
1
*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s
r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且
叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当
R x ∈；
（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么
数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2
N N a a x =⇔=
log ○3 两个重要对数：
○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；
○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数
的对数N ln ．
指数式与对数式的互化
幂值 真数
b
对数 （二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；
○
2 =N
M
a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a b
b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；
0>b ）
． 利用换底公式推导下面的结论
（1）b m
n
b a n a m
log log =；（2）a b b a log 1log =．
（三）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形
式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5
log 5x y =
都不是对数函数，而只能称其为对数型函
数．
○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
2、对数函数的性质：
六．幂函数的图像及性质
（一）定义：形如y=x a（是常数）的函数，叫幂函数。
(二) 图象
幂函数的图象和性质；由a取值不同而变化，如图如示：
a<0 0<a<1 a>1 p,q都是奇数
p是奇数，
q是偶数
p是偶数,
q是奇数
(三)．幂函数的性质：
a>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)
(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大
a<0时,(1)图象都通过(1，1）
(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小
(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
n>1
函数位于第一象限的图象在
“a>1”时，往上翘；0<a<1,往
右拐;a<0向下滑。
n>1 0<n<1 n<0
七．二分法求零点
对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时，若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
假定f(x)在区间（x，y）上连续，先找到a、b属于区间（x，y），使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b
若f[(a+b)/2]=0，该点就是零点；
若f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2>=a，继续使用中点函数值判断。
若f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2<=b，继续使用中点函数值判断。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。