二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中,的幂指数是整数的共有( ) A .项 B .项 C .项 D .项 【答案】C 【解析】,,若要是幂指数是整数,所以0,6,12,18,24,30,所以共6项,故选C .3、若展开式中的常数项为 .(用数字作答)【答案】10【解】由题意得,令,可得展示式中各项的系数的和为32,所以,解得,所以展开式的通项为,当时,常数项为, 4、二项式的展开式中的常数项为 . 【答案】112【解析】由二项式通项可得,(r=0,1,,8),显然当时,,故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________.【答案】.【解析】因为中的展开式通项为,当第一项取时,,此时的展开式中常数为;当第一项取时,,此时的展开式中常数为;所以原式的展开式中常数项等于,故应填. 6、设,则的展开式中常数项是 .【答案】 332,30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为,所以所求常数项为.二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是( )A .B .C .D . 【答案】A【解析】由通式,令,则展开式中项的系数是.8、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数是 . 【答案】15【解】的通项,令可得.则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 . 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成,所以的项的系数为. 10、已知,那么展开式中含项的系数为 . 【答案】135【解析】根据题意,,则中,由二项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为.11、已知,则等于( )A .-5B .5C .90D .180【答案】D 因为,所以等于选D.12、在二项式 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则________;展开式中的第4项=_______.6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅)(3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x )(3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x )(3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】,.【解析】由二项式定理展开通项公式,由题意得,当且仅当时,取最大值,∴,第4项为. 13、如果,那么的值等于( ) (A )-1 (B )-2 (C )0 (D )2 【答案】A【解析】令,代入二项式,得,令,代入二项式,得,所以,即,故选A .14、(﹣2)7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解:把x=1代入二项式,可得(﹣2)7 =﹣1, 15、(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解:在(x ﹣2)(x ﹣1)5的展开式中,令x=1,即(1﹣2)(1﹣1)5=0, 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中,所有项的系数和为,则的系数等于 .【答案】【解析】当时,,解得,那么含的项就是,所以系数是-270. 17、设,若,则.【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰,令得:,即 再令得:,即 所以18、设(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和为M ,二项式系数和为N ,若M ﹣N=240,则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解:由于(5x ﹣)n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关,故令x=1,即可得到展开式的各项系数和M=(5﹣1)n =4n .再由二项式系数和为N=2n ,且M ﹣N=240,可得 4n ﹣2n =240,即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16,或 2n =﹣15(舍去),∴n=4. (5x ﹣)n 的展开式的通项公式为 T r+1=?(5x )4﹣r ?(﹣1)r ?=(﹣1)r ??54﹣r ?.令4﹣=1,解得 r=2,∴展开式中x 的系数为 (﹣1)r??54﹣r=1×6×25=150,19、设,则 . 【答案】【解析】, 所以令,得到, 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项,则( )A .B .C .D .【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为,第四项为常数,则必有,即,所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15,则( )(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为,令,得,所以的系数为,解得;故选B . 22、(a +x)4的展开式中x 3的系数等于8,则实数a =________.【答案】2【解析】∵,∴当,即时,. 23、若的展开式中的系数为10,则实数( ) A1 B .或1 C .2或 D . 【答案】B.【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14,其二项展开通项公式,∴或,故选B . 24、设,当时,等于( )A .5B .6C .7D .8 【答案】C . 【解析】令,则可得,故选C . 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析:先将幂利用二项式表示,使其底数用8的倍数表示,利用二项式定理展开得到余数. 试题解析:解:∵20152015=2015=?20162015﹣?20162014+?20162013﹣?20162012+…+?2016﹣,故20152015除以8的余数为﹣=﹣1,即20152015除以8的余数为7,)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。