常微分方程期末考试试卷
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一． 填空题 （30分）
1．)()(x Q y x P dx
dy
+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰
-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果
_______ 。
3． 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
4．方程22y x dx
dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。
5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -
为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= _______是
)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= _____
是)()('t f x t A x +=的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。
8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组
Ax x ='的一个基解矩阵。
9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。
二． 计算题 （60分）
10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
11．求方程0=-+x e dx
dy
dx dy
的通解。
12．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0
)1(2
2y y x dx dy
1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求
第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
13．求方程t t x x 3sin 9''=+的通解。
14．试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1)(,3421,11)0(t e t f A ϕ 15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt
dy
y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。
三．证明题 （10分）
16．如果)(t ϕ是Ax x ='满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么
[]ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷答案
一．填空题 （30分）
1．))(()()(⎰+⎰⎰
=-c dx e x Q e y dx
x P dx
x P
2．),(y x f 在R 上连续，存在0>L ，使2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于
任意R y x y x ∈),(),,(21
3．
1)!
1(++n n h n ML 4．4
141≤≤-
x 5．t
t
t
t t t
t t
t
e e e e e e e e e 22242---- 6．)()()(1
t x t x c t x i n
i i -
=+=∑
7．ds s f s t t t )()()(10
-ΦΦ⎰ ds s f s t t t t
t )()()()()(0
101⎰--ΦΦ+ΦΦη
8．[]
n t t t v e v e v e n λλλ,,,2121Λ 9．0),(,0),(==y x Y y x X
二．计算题 （60分）
10．解：
y x x
N
y x y M 226,8=∂∂=∂∂ y
M x N y M 21-=-∂∂-∂∂ 积分因子2121)(--=⎰=y e y dy y
μ
两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(2432
13
2
2
=-+-
dy y x y dx y x
32
24y x M x u ==∂∂ 两边积分得：)(3
4
23
3y y x u ϕ+=
21
2
13'21322)(2--==+=∂∂y y x N y y x y
u ϕ
得：2
14)(y y -=ϕ
因此方程的通解为：c y x y =-)3(32
1
11．解：令
p y dx
dy
==' 则0=-+x e p p 得：p e p x +=
那么⎰⎰+==dp e p pdx y p )1(
c e pe p p p +-+=2
2
因此方程的通解为：⎪⎩⎪
⎨⎧+-+=+=c e p p y e p x p
p )1(22
12．解：4),(max ),(==∈y x f M R
y x
b y y a x x =≤-=≤-1,100，4
1
),min(==M b a h 解的存在区间为4
110=≤+=-h x x x 即4
345-≤≤-
x 令0)(00==y x ϕ
3
1
30)(312
1+=
+=⎰-x dx x x x
ϕ 4211
918633)313(0)(47312322+---=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+=⎰-x x x x dx x x x x
ϕ
又
L y y
f
=≤-=∂∂22 误差估计为：24
1
)!1()()(12=+≤-+n n h n ML x x ϕϕ
13．解：i i 3,309212-==⇒=+λλλ
i 3=λ是方程的特征值， 设it e B At t t x 3)()(+=-
得：it e At Bi Ait Bt A x 32")961292(-++-= 则t Bi Ait A =++6122
得：36
1
,121=-=B i A
因此方程的通解为：t t t t t c t c t x 3sin 36
1
3cos 1213sin 3cos )(221+-+=
14．解：0)5)(1(3
4
2
1
)det(=-+=----=
-λλλλλA E
5,121=-=λλ
0)(11=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=αα1v 取⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=111v
0)(22=-v A E λ 得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ββ22v 取⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=212v
则基解矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=Φ-t t
t t
e e
e e t 552)( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ΦΦ-----t t t t
t t
e e e e
e e t 11212
101
2)0()(551
η
⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--+=ΦΦ⎰-51211035241203)()()(551
0t t t t t t e e e e ds s f s t
因此方程的通解为：⎰--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds s f s t t t 0
)()()()0()()(11ηϕ
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+=--512110
3524120
355t
t t t t t e e e e e e
15．解：⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-3
1
05201972y x y x y x
（1，3）是奇点
令2
5
,219-=+=y Y x X
Y x dt
dY
y X dt dX 2,72-=-=
023*******≠-
-=--，那么由023072217
22=-+-=
+--λλλλλ 可得：i i 3,321-==λλ 因此（1，3）是稳定中心
三．证明题 （10分）
16．证明：由定理8可知ds s f s t t t t t
t )()()()()()(0101⎰--ΦΦ+ΦΦ=ηϕ
又因为)ex p()(ex p )(,ex p )(01001At At t At t -==Φ=Φ-- 0)(=s f
所以ηϕ)ex p(ex p )(0At At t -⋅= 又因为矩阵)()()()(00At At At At ⋅-=-⋅
所以[]
ηϕ)(ex p )(0t t A t -=
02412--11 章小燕。