： 院（系）
7 、方程 得分
dy y 2 1 经过 (0,0) 点的解在存在区间是 。 dx 评阅人 2 二．计算题（共 9 题，每题 5 分，共 45 分）
1.设 f ( x ) 在[ a, b] 上连续， ( y ) 在[c, d ] 上连续，求微分方程
dy f ( x) ( y ) 。 dx
1. 设 f ( x, y), g ( x, y) 是定义在区域 D R 2 上的两个不同时为 0 的连续可微函数。证明：对于任意一点
( x, y) D ,必有一个领域U D 及定义在 D 上的非零连续函数 ( x, y ) ，使得 ( x, y ) 是一阶方程 f ( x, y)dx+g ( x, y)dy 0 的一个积分因子。
， 。
3、若 xi (t ) (i 1，2，……， n) 是齐线性方程的 n 个解， w(t ) 为其伏朗斯基行列式，则 w(t ) 满足一阶线性方 程
'
。 。 。
专业：
4、若 (t ) 和 (t ) 都是 x A(t ) x 的基解矩阵，则 (t ) 和 (t ) 具有关系 5、方程 M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是 有只含 y 的积分因子的充要条件是 。
华中师范大学 2007–2008 学年第二学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 常微分方程 编号 83420002 任课教师 邓引斌、朱长江、严国政 题型 分值 得分 填空题 15 计算题 45 解答题 14 证明题 20 应用题 6 总分 10
学生姓名：
学号：
得分
评阅人
一、填空题： （共 5 题，每题 3 分，共 15 分， ）
6.求解 y 5 y 6 y x2
5.解方程 ( y)3 4xyy 8 y 2 0
x 1 1 1 x d 7.求解方程组 y 1 1 1 y dt z 1 1 1 z
1、 （
） 称为齐次方程， （
）称为黎卡提方程。
年级：
2、如果 f ( x, y ) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 于区间 x x0 h 上，连续且满足初始条件 ( x0 ) y 0 ，其中
dy f ( x, y ) 存在唯一的解 y ( x) ，定义 dx
2 1 3 1 X (t ) d 2Q M KQ 0 9．设 M , 为未知向量函数，解方程 , K Q dt 2 1 1 1 2 Y (t )
得分
评阅人
三、解答题： （共 2 题，共 14 分）
1.求初值问题
dy x 2 y 2 , y (1) 0 在区域 R : x+1 1 并求第 3 次近似解， 给 ， y 1 的解的定义区间， dx
8.解方程 e y y y

dx x 2 y sin x dt 2．求系统 的奇点，确定它的类型，并画出奇点领域内的相图。 （7 分） dy 1 y e y dt
得 分
评阅人
四、证明题： （共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
2.求解方程
dy x y 1 dx x y 3
3．求解方程 ( x2 y 2 1)dy 2xy3dx 0
4.解方程 ( x y )dx 2 xydy 0
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2.证明;若常数 a 0 , f ( x ) 在 [0, ) 内连续且


0
d2y f (t ) dt 收敛，则方程 2 a 2 y f ( x) 的每个解在 dx
x 0 上有界。
得 分
评阅人
五、应用题： （Βιβλιοθήκη 1 题，共 6 分，两题选一题做）
1.万有引力 F
GMm r ,试导出行星在太阳系的运动的轨道方程， 并讨论轨道的类型及微小扰动下的稳定性 r3
出存在区间上解的误差估计。 （7 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2.设河边点 P 的正对岸为点 O ，河宽 PO x ，两岸为平行直线，水流速度为 m ，有一只鸭子从点 O 游向 点 P ，鸭子在静水中的游速为 n ， n m ，假定鸭子游动方向始终朝着点 P ，试求鸭子游过的轨迹方程．
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------