2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x xx 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

14．求方程222d d xy xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx uux u u dx du =--=1,2所以原方程的通解为 x y x CxCy =+=,1215．求方程0d )ln (d 3=++y x y x xy的通解 解：取()()x y y x N xy y x M ln ,,,3+==则()()x y x N y x M x y 1,,==，于是原方程为全微分方程所以原方程的通解为 ⎰⎰=+yx C dy y dx x y 131即 C y x y =+441ln 16．求方程2221)(x y x y y +'-'=的通解 解:令 p y ='，得到222x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，整理得 ()012=⎪⎭⎫⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2xp =,代入（*） 得解 42x y =取01=-dxdp,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 222Cx Cx x y ++= 17．求方程53xy y e '''-=的通解解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ， 特征根为 01=λ，32=λ故齐次方程的通解为 xC C y 321e += 因为5=α不是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为xA x y 51e )(= 代入原方程，得 x x xA A 555e e 15e 25=-即 101=A ， 故原方程的通解为 xxC C y 5321e 101e++= 18．求方程2(cos 7sin )xy y y e x x '''+-=-的通解 解：先求解对应的其次方程：02=-'+''y y y ，则有，x x e C e C y 221212;2,1,02-+=-===-+λλλλ因为数i i ±=±1βα不是特征根，故原方程具有形如 ()x B x A ey xsin cos 1+= 的特解。

将上式代入原方程，由于 ()x B x A ey xsin cos 1+=()()[]x A B x B A e y xsin cos 1-++='[]x A x B e y xsin 2cos 21-='' 故 =-'+''y y y 2[]x A x B e xsin 2cos 2-()()[]x A B x B A exsin cos -+++()()x x e x B x A ex xsin 7cos sin cos 2-=+-或 ()()x x x A B x A B sin 7cos sin 3cos 3-=+--比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数，可得 73,13-=--=+-B A B A 因此，.1,2==B A 故()x x e y xsin 1cos 21+=所求通解为()xxxe C e C x x e y 21sin 1cos 2+++=19．求方程组3553dY Y dx ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的实基本解组 解：方程组的特征多项式为3553--λλ，其特征根是i 532,1±=λ，那么属于1λ的特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11i α，属于2λ的特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=i 12α。

则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=Φ-+-+x i xi x i xi ie e e ie x 535353531，其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为()=Φx ()()0111-ΦΦx()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+x e x e x e x e i i ie ee ie t t t t x i xi x i xi 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题（每小题 11 分，共11分）。

20．（1）求函数()atf t e =的拉普拉斯变换（2）求初值问题3322(0)0,(0)0tx x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解解：（1）[]()()⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=∞+--===----∞+-⎰⎰as as a s e a s dt edt e e et a s ta s atst at,,1010（2）设()[]()s X t x = ，()t x 是已知初值问题的解。

对已知方程两端同时使用拉普 拉斯变换，可分别得到[][][][]()[]()()()()();212323232322--=+-=+-=+'-''=+'-''s s s X s s s X s s s X x x x x x x[][]322233-==s e ett故有 ()()()()3212---=s s s s X使用部分分式法，可得 ()312211-+---=s s s s X 由（1）可知，[][][]31;21;1132-=-=-=s e s e s e t t t故所求的初值解为 ()t tte ee t x 322+-= 。

五、证明题（每小题10分，共10分）。

21 ．证明：对任意0x 及满足条件001y 的0y ，方程22d (1)d 1y y y x x y -=++的满足条件00()y x y =的解()y y x =在(,)-∞+∞上存在。

证： 由于 221)1(),(y x y y y x f ++-=22222)1(2)1()1)(12(),(y x yy y y x y y x f y ++--++-='在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然1,0==y y 是方程的两个特解．现任取),(0∞+-∞∈x ，)1,0(0∈y ，记)(x y y =为过),(00y x 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越1=y ，下不能穿越0=y ，因此它的存在区间必为),(∞+-∞．。