2F
F
A
D
FN图：
120 kN
2F
F
C B
60 kN
60 kN
天津大学材料力学
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的应力
AD段：
AD
FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
4
4 120 103 π 402 106
95.5M Pa
BC段：
BC
FNBC A2
FNBC
π
d
2 2
4
4 60 103 π 202 106
轴力图 ——每个截面上的轴力用图形表示出来
① 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； ② 易于确定最大轴力及其位置
天津大学材料力学
例1：图示杆受轴向外力作用，已知F=60 kN，求杆各 段轴力，并绘轴力图。
3
2F
F
A 3D
FN图：
120 kN
2
2F
2
B
1
F C
1
60 kN
60 kN
天津大学材料力学
L1 sin 30
L2 tan 30
1.44 mm
()
§1.7 应力集中
天津大学材料力学
k max ave
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§1.8 拉压超静定问题
B
D
3杆 1杆
C 2杆
A F
y
FN3 FN1
FN2
A
x
F
静定问题:未知力个数等于独立的平衡方程个数。 超静定（静不定问题）：未知力个数多余独立平衡方程个数。
191.0M Pa
3．确定杆的最大应力
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max BC 191.0M Pa
二、 变形（deformation）、应变（strain）
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胡克定律（Hooke’s Law）:
L
L EA
FN
—— 变形和轴力的关系
E
—— 应变和应力的关系
E ——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形 的能力。
材料力学中的杆件，如果没说明，通常不计自重。
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§1.2 截面法 轴力及轴力图
一、求内力的方法——截面法 基本步骤：切、取、代、平
① 假想切开
m
F
F
m
② 分段取出
③ 内力代替
F
FN
④ 建立平衡
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FN F = 0
FN = F
m
取右半部分：
F
F
m
F'N
F
F'N F = 0
A
①
② 30°
C
B 1m
F=40 kN
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FN1
A
30°
C
FN2
F=40 kN
①
②
B
30° C2
C
C1
30°
FN1
F sin 30
80 kN
FN 2 FN1 cos 30 69.3 kN
C5
C3
C4
F=40 kN
水平＝CC2 L2 0.24 mm ()
天津大学材料力学
垂直＝CC5 C5C4
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例11. 图示简单桁架，杆1和2具有相同的抗拉压刚度
EA和长度L，杆3的拉压刚度为E3 A3，长度为L3 。已
知 F、E、A、L、 E3 、 A3 、L3 和角，试求三根杆
的内力。
B
D
3杆 1杆
C
2杆
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A F
解：
y
FN3 FN1
FN2
A
x
B
D
1杆 3杆
解：（1）列平衡方程，计算轴力。
FN1
FN1
F sin 30
2F
FN 2 FN1 cos 30 3F
30°
C
FN2
F
（2）查型钢表，确定两杆的截面面积。
A1 2 10.8cm2 2.16 103 m2 A2 2 12.748cm2 2.55103 m2
（3）利用强度条件，计算结构的许可载荷。
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
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2F
F
C B
60 kN
60 kN
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的变形
LAD
FNAD LAD E A1
π
4 120 103 1 402 106 200 109
0.48mm
LDB
FNDB LDB E A1
4 60 103 3 π 402 106 200 109
0 .7 2 m m
LBC
FNBC LBC E A2
4 60 103 2 π 202 106 200 109
1.91m m
3．计算杆的总变形
LAC LAD LDB LBC 1.91 0.48 0.72 0.71m m
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例5：已知一圆柱形薄壁容器的内径为d，壁厚为t, 内部 压强为 p，试计算该压力容器的应力和变形。
A0
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。
低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
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• 多数塑性材料没有明 显的屈服阶段
• 名义屈服极限0.2
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铸铁的拉伸实验
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铸铁的拉伸实验结果分析：
• 试件断口平齐、粗糙， 几乎没有塑性变形 ——脆性断裂
2、许用应力 u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
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轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
max
FN A
m ax
三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
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例6：图示铸铁圆截面杆，已知F=60 kN， AB段直径
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
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平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN
A
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
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2
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FN2 B 1m F
d1 19.5 mm d2 22.6 mm
例8：图示结构，斜杆由两根80×80×7的等边角钢组 成，横杆由两根10号槽钢组成，若[σ]=120Mpa，试 求结构的许用载荷[ F].
B C
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① No.8
②
30°
A
No.10
F
型钢－型钢表
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d1=40mm，BC段直径d2=20mm，若[σc]=350MPa， [σt]=120MPa，试校核该杆的强度。
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
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2F
F
C B
60 kN
60 kN
解： 1．确定铸铁杆各段的轴力，计算杆的最大拉应力和
最大压应力。
c max
FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
95.5M Pa
轴力计算 任一截面上的轴力等于一侧外力的代数和。
画轴力图
① 轴力图画在原图正下方，与原图各截面相对应； ② 标出正、负号； ③ 标出特征截面的轴力值（不加正负号）、注明单位。 ④ 可画竖阴影线、勿画斜阴影线；
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例2：求图示杆各段的轴力，并绘轴力图。
10kN
1 20kN 2 10kN 35kN 4 5kN
F
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y
FN1
αα
FN2
A
x
F
FN1
FN 2
F
2 cos
L1
L2
FN1L EA
FL
2 EA cos
A
L1
cos
FL
2EAcos2
例10：简易悬臂吊结构如图示， AC杆由圆钢制成，其直径
d=34mm， E 1 = 200 GPa， BC杆由木材制成，其横截面为正 方形，边长a =170mm， E 2= 10 GPa。试求节点C 的水平和垂 直位移。
C
2杆
F
① 平衡方程: FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F
A 1 B 2 C 3 D 4E
10 kN
5 kN
FN图：
10 kN
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§1.3 拉压杆件的应力与变形 一、 应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
lim FN
A0 A
应力符号： σ
应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
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1、横截面上的应力
F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。 轴力的正负号规定： 当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号； 当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。
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二、轴力和轴力图
轴力 ——轴向拉伸与压缩时的内力
① 特点：过截面形心、沿截面法线方向； ② 符号规定：拉伸（拉力）为正、压缩（压力）为负； ③ 轴力的单位： N 、 kN.