圆轴扭转横截面上的应力
扭转变形一般公式
d
dx
T GIp
d T dx
GIp
T dx l GIp GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
常扭矩等截面圆轴
Tl
GIp
圆轴扭转刚度条件
d
dx
T GIp
T GI p
max
[
]
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角
max
T Wp
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
公式的适用范围：圆截面轴；max≤p
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 d
D
Ip
πD4 32
1 4
Wp
Ip D
πD3 16
1 4
2
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面 0
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
1
rad
/
m
180 π
(
)/m
圆轴扭转刚度条件 利用刚度条件可以进行三类计算：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：
max [ ]
T
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷： T max GI p[ ]
例题
提问
• 切应力互等定理 • 薄壁圆筒横截面上切应力公式 • 剪切胡克定律
§4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题
扭转试验与假设
从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 试验现象一
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变
I
p
πd 4 32
Wp
πd 3 16
例题
例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。
解：
T1 M A
Wp
πd 3 16
1,max
T1 Wp
1,max
16M A πd 3
63.7MPa
T2 MC
2,max
T2 Wp
di do
Wp
πdo3 16
1 4
2,max
16 M C
πd03 (1
4
)
74.9MPa
§5 圆轴扭转强度与合理设计
扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题
扭转失效与极限应力
扭转失效形式
解：1. 扭矩分析
2. 强度校核 危险截面：截面 A与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2πR02d
2
2
2πR02d 2
27.9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MPa [
]
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题
圆轴扭转变形
塑性材料
屈服
断裂
脆性材料
断裂
扭转极限应力
圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限
扭转屈服应力s ，扭转强度极限b －扭转极限应力u
圆轴扭转强度条件
为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力
max [ ]
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
π 4
(do2
di2
)
πd2
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
例 5-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
d
dx
2
T2 GIp
因 T1 T2
故
d
dx
max
d
dx
1
T1 GIp
d
dx
max
(80109
180 Nm Pa)(3.0105
10-12m4
180 )π
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC =
140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
试验现象二
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
d
dx
G
d
dx
A dA T
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
T
Ip
max
TR T Ip Ip R
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
1.1710-2
rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2. 刚度校核
d T1
dx 1 GIp
变截面或变扭矩圆轴:
max
T
Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
[ ] u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有
塑性材料：[] =（0.5~0.577）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
圆轴合理截面
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若 Ro/d 过大
将产生皱褶
注意减缓 应力集中
例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
