0.0440+0.1532+0.2936=0.4908 – P(身高<120cm)= 0.4963 组距越小，组段就越多，能够计算概率的区 间就越多
5
概率密度曲线
当组距趋向于0时，直方条宽度趋向0，直方 条趋向垂直的直线，相邻的直方条顶点用直 线连接，构成一条曲线，这条曲线称为概率 密度曲线 概率密度曲线下的面积为1 计算概率的问题对应于计算概率密度曲线下 的面积问题
)>5，n>40)，二项分布逐渐逼近于均数为n， 方差为n (1 ) 的正态分布 正态分布与Poisson分布的关系 – 当均数越来越大时(>20) ，Poisson分布逐渐 逼近于均数为，方差为的正态分布
25
19
正态分布应用
确定医学参考值范围
– 医学参考值范围---决大多数正常人的某项指标值 范围
”正常”人群：排除了影响所研究指标的疾病和有
关因素的同质人群 大多数个体；90%，95%，99%等
– 方法
百分位数法:任何分布的指标 正态分布法:服从正态分布的指标 注意:单双侧
20
正态分布应用
例3.9 估计某地健康成年女子的血红蛋白 的95%医学参考值范围 – 制定入选标准和排除标准 – 在入选标准和排除标准所确定的人群中
形状由 、两个参数决定
9
不同参数的正态分布曲线
10
不同参数的正态分布曲线
1 2 3
11
正态分布曲线的特点
始终位于横轴上方
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x
处有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意 味着正态分布变量取值靠近 x 处的概率较 大,两边逐渐减少
6正态分布Fra bibliotekab
c
频率分布逐渐接近正态分布示意图
•若概率密度曲线呈钟型，两头低中间高，左右对 称，则称描述指标近似正态分布
•若描述指标X分布的曲线对应于数学上的正态曲
线，则称该指标X服从正态分布。又称Gauss分布
7
正态分布的概率密度
正态曲线（normal curve）：高峰位于中 央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两 段永远不与横轴相交的钟型曲线。
随机抽样 – 确定单双侧和分布：双侧，近似正态 – 估计：x 12.5克/升 s 1.2克/升
21
正态分布应用
例3.10 估计某地110名健康成年男子第一秒
肺通气量的95%参考值范围 – 根据肺通气量的背景和已知的影响因素，制定
入选标准和排除标 – 入选标准和排除标准所确定的人群中随机抽样 – 确定单双侧和分布：单侧，近似正态 – 已知 x =4.5L, s=0.6L.
17
-1.96≤x≤1.96的概率：
18
例：设u1=-1.83,u2=-0.3，求标准正态分布曲
线下（-1.83，-0.30）范围内的面积 (u2 ) (u1) (0.30) (1.83)
例：110名7岁男孩体重的均数 x 35.6 kg，标 准差为s=6.4kg。请估计该地1995年体重界于 30kg 到40kg范围内的7岁男童比例
例：求 范围内曲线下面积
P( X )
f (t)dt 1 2 f (t)dt 0.6827
概率
1.64 1.96 2.58
0.90 0.95 0.99
14
正态分布曲线下面积
概率P(X<+1.64)＝0.95 概率P(X>+1.64)=0.05 概率P(X<+1.96)＝0.975 概率P(X=)=0 （一条直线的面积为0）
正态曲线的函数表达式 f (x) 称为正态分布
概率密度函数：
f (x)
1
(x )2
e 2 2
2
8
正态分布的参数
如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称 该变量服从正态分布。记做 X ~ N (, 2 )
位置参数 ：描述正态分布的集中趋势的位置 变异度参数 ：描述正态分布离散趋势，越小，
分布越集中，曲线形状越“瘦高”；反之越 “矮胖”。
只有 上限 P90
P95
P99
23
正态分布应用
质量控制图 – 原理：如果波动仅由个体差异或随机
误差所致，则结果应服从正态分布 – 为控制实验误差,以X 2S 为警戒线，
以 X 3S为控制线
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三种分布的关系
Poisson分布与二项分布 – 当n很大，很小时，二项分布 B(n, )逼近
Poisson分布 P(n ) 正态分布与二项分布的关系 – 当 n 和 n(1 ) 均较大时(通常要求n>5，n(1－
2
在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量 他们的身高并作图描述
3
频率密度图
频率密度图:纵坐标＝频率/组距
– 组距为5cm，纵坐标＝频率/组距，横坐标为身 高
– 每一直方条的面积＝直方条顶点纵坐标值×组 距＝频率
– 因为各个组段的频率之和＝1，所以这种直方条 图的面积为1
– 如果样本量为n，并且n越来越大时，每个组段 的频率越来越稳定，也越趋向于对应的概率
常用概率分布——正态分布
2020/4/10
1
正态分布
频数分布图：直方图（频数-频率） 关于频率和概率：
– 频率：对于随机事件A，在相同的条件下进行了n次实验， 事件A发生的次数为nA，比值nA/n为频率 ，fn(A)
– 概率:描述某随机事件发生的可能性大小，记为P(A)
频率具有波动性,但又趋于某个稳定的常数(概率) 只要观察单位数充分多，可以将频率作为概率的估 计值
15
标准正态分布N(0,1)
对任意一个正态分布可以进行标准化变换，
U变换
u x
变换后的随机变量u仍服从正态分布，称为 标准正态分布, u ~ N(0,1)
– 经u变换可以将任意的正态分布变成标准正态分 布
– N (, 2 ) 中的X和N(0,1)中的u一一对应，面积 也一一对应
16
标准正态分布曲线下面积(u) 表、图
12
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
任意两点范围 (x1, x2)内取值的概率P,即 正态分布曲线下面积
P x2 x1
1
e dx
(
x )2 2 2
2
变量X落在任意一个区间的概率＝该区间 的概率密度曲线下的面积
13
正态分布曲线下面积
正态分布曲线下面积相当于求 P(X x)
4
概率密度
各个组段的概率
组段 95- 100- 105- 110- 115- 120- 125- 130- 135- 140概率 0.0006 0.0049 0.0440 0.1532 0.2936 0.3037 0.1515 0.0421 0.0061 0.0003
– P(110cm身高<115cm)= 0.153 – P(105cm身高<120cm)=
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参考值范围估计
正态分布法
百分位数法
双侧
单侧
双侧 单侧
%
只有下 只有上
限
限
只有 下限
90 x 1.64s x 1.28s x 1.28s P5~P95 P10
95 x 1.96s x 1.64s x 1.64s P2.5~P97.5 P5 99 x 2.58s x 2.33s x 2.33s P0.5~P99.5 P1