第4届华杯少年数学邀请赛
复赛部分试题以及答案
（1）化简
（2）电视台要播放一部30集电视连续剧。
如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？
（3）一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率=3.14）。
（4）有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个，问：这筐苹果至少有几个？
（5）计算
（6）长方形 ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方米，求长方形ABCD的面积
（7）“华罗庚”金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届是在1991年举行，以后每2年举行一届。
第一届“华杯赛”所在年份的各位数字和是
A1＝1＋9＋8＋6＝24。
前二届所在年份的各位数字和是
A2=1＋ 9＋ 8 ＋ 6 ＋1＋ 9＋ 8 ＋ 8=50
问：前50届“华杯赛”所在年份的各位数字和A50＝？
（8）将自然数按如下顺次排列：
1 2 6 7 15 16 …
3 5 8 1
4 17 …
4 9 13 …
10 12 …
11 …
在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？
（9）在下图中所示的小圆圈内，试分别填入1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数字减小数字）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数字。
（10）11＋ 22＋ 33＋ 44＋ 55＋ 66＋ 77＋ 88＋ 99除以3的余数是几？为什么？
（11） A、 B、 C、 D、 E、 F六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天B对 D，第二天 C对E，第三天 D对 F，第四天B对C，问：第五天A与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？
（12）有一批长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11
厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根本条作为三条边，可围成一个三角形。
如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？
（13）把下图a中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
（14）甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的3
2，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了31，乙跑第二圈时速度提高了5
1。
已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？
（15）下图a 中的正方形ABCD 的面积为1，M 是AD 边上的中点。
求图中阴影部分的面积。
（16）四个人聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。
答案：1、1 2、7 3、8 4、23 5、81又2/5 6、15 7、629 8、第 24行，第 40列 9、在 A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 处，顺次在小圆圈内填入1、3、8、2、7、4、5、6 10、1 11、第五天A 与B 对阵，另2张球台上的对阵是C 对D ，E 对F 12、36 13、没有可能 14、400 15、1/3
第八届华杯赛决赛二试试题及解答
1.计算：
2.已知1+2+3+…+n的和的个位数为3，十位数为0，百位数不为0。
求n的最小值。
3.如右图所示的四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ABC=105°，AB=CD=15厘米，连接对角线BD。
求四边形ABCD的面积。
4.四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和。
求这四个数。
5.10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局。
其中有两队并列第一，两队并列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况。
请计算出各队得分.
6. n张卡片，每张上写—个不为0的自然数，彼此不同，小李和另外(n-1)个小朋友做游戏，每人任意取—张，共取n次，每次各人记下自己取得的数字后，仍将卡片放回，最后各人计算自己取得的数字和作为得分，并按得分多少排名。
已知小李n次取得的数字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他们(不包括小李)得分之和为2001。
问n等于多少?小李最高能是第几名?
答案1．4000＋.
2．n的最小值为37.
3．四边形ABCD的面积是112.5平方厘米.
4．这四个数是108，117，135，180.
5．略
6．n＝4，小李最高是第二名.
1．解：原式＝
＝
因为上式中分母为1～2000的同分母的两个分数之和，都是2，所以原
式＝2×2000＋＝4000＋.
2．解：因为1＋2＋3…＋n＝，要使个位为3，n×（n＋1）的个位应为6，在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这些连续数中，两个连续数个位的积为6的，只有2×3＝6，7×8＝56，考虑到百位不为0，n的值可能为17，22，27，32，37，42，…，从小到大试算，1＋
2＋3…＋37＝＝703.n的最小值为37.
3．解：将△DCB切下，令DC与AB重合，拼接到△ABD上，得到四边形AEBD.因为∠ABE＝∠DCB＝45°，所以，BE∥AD，又AE＝DB，所以四边形AEBD是等腰梯形.再作AF⊥BE，交BE于F，并将△AEF切下，令AE 与BD重合，拼接成四边形AFBD，则AFBD是正方形，它的对角线AB＝15
厘米，所以这个正方形的面积，也即原图形的面积是＝112.5平方厘米.
4．解：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，
设S÷A＝，S÷B＝，S÷C＝，并设A＜B＜C，则＞＞（、
、均为整数）.下面我们说明≤6，≥3.如果＞6，设为7，
即设S÷A＝7，A＝S，B＋C＋D＝S－A＝S，
B、C、D中至少有一个不小于S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以≤6；同样地，如果＜3，设为2，即C＝S，则A＋B＋D＝S－C＝S，A、B、D中至少有一个不大于S，也与A、B、C、D的百
位数字相同相矛盾，所以≥3.又因为A、B、C、D不相同，即、、
只能是5、4、3或6、5、4，但当＝6、＝5、＝4时，D＝S－
（A＋B＋C）＝S－（＋＋）＝S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，
所以，、、只能是5、4、3.此时，S必为3×4×5＝60的倍数.
设S＝60K，则A＝12K，B＝15K，C＝20K，D＝13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K＝9，即A＝108，B＝135，C＝180，D＝117.本题有唯一解.
5．解：10个队进行循环赛，每队打9场，共赛45场.每场3分，共45×3＝135分.因为有两个第一名，最高得分最多为17分，最低得分至少为9分，如果按两个17分，两个16分，两个15分，其余分别为9、10、11、12分计算，共138分，将第二名改为15分，第三名改为14分，第七名
改为13分，则17×2＋15×2＋14×2＋13＋11＋10＋9＝135；当然也可能是16×2＋15×2＋14×2＋13＋12＋11＋9＝135；
第一种情况是可能的，如：
6．解：设卡片上的数字为、、…、，每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是＋＋＋…＋，取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（＋＋＋…＋），因为小李n次取得的数字各不相同，小李的得分刚好等于＋＋＋…＋，n－1个小朋友的得分和为（n－1）×（＋＋＋…＋）＝2001＝3×23×29.如果n－1＝23，则n＝24，此时即便卡片上的数即便是取最小的数，即从1取到24，n－1个小朋友的得分也应为23×（1＋2＋3＋…＋24）＝6900＞2001，与题设矛盾.故n－1只能取3，所以n＝4，＋＋＋…＋＝23×29＝667.即小李的得分是667，因为3×667＝2001，所以其它3人的得分中，必有一个分数大于667，小李最高为第二名.（此题华杯赛网站给出的n＝667的答案有误，另外试题表述也不太明晰，是一轮卡片发完后，再将卡片放回去，否则，如果其它小朋友都取到最小的卡片，小李肯定是第一名）.。