x x x 1 C (0100111)
5 2
111
1010011
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– 上述方法得到的循环码不是系统码。 – 系统码：构成的码字前面是k位是原信息比 特[m(x)是k-1次，放在最高位n-1次]，后面 是n-k为校验位，即有如下形式：
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• 结论：
–码多项式一定可以写成 式。 的形
– m(x) 的次数一定小于
–gn-k和g0恒等于 –g(x)被称作
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。
。 。
8
–定理3.2（存在性定理） (n,k)循环码的生成多项式g(x)一 定是xn-1的因式。 即一定存在一个多项式h(x)，满 足xn-1=h(x)g(x)，或者g(x)| xn-1； 反之，如果g(x)是xn-1的n-k次因式， g(x)一定是某个(n，k)循环码的生成 多项式。
解：……
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– 若选择g(x)= (x+1)(x3+x+1 )= x4+ x3 + x2 +1为生成多项式； – 则码多项式为 C(x)=m(x)g(x)=(m2x2+m1 x+1) (x4+ x3 + x2 +1)； – 若m=(011)，m(x)=x+1，
C1 (cn 2 ,, c1 , c0 , cn 1 )
is a codeword and there are
C0 ( x) cn 1 x n 1 cn 2 x n 2 c1 x c0 C1 ( x) cn 2 x n 1 cn 3 x n 3 c0 x cn 1
–习惯上仅将n-k校验部分称为CRC码。 – 对于系统码，在发送端：
C ( x) x n k m( x) r ( x)
–r(x)等于xn-km(x)除以g(x)后的余式。
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– 对于接收码R(x)，如果无误码应该有：
R( x) C ( x)
– 可以用矩阵表示为：
g n k x n 1 g1 x k g 0 x k 1 x k 1 g ( x) [m ,, m , m ] C ( x) [mk 1 ,, m1 , m0 ] k 1 1 0 g n k x n k 1 g1 x 2 g 0 x xg ( x) nk g ( x) g n k x g1 x g 0
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例3-2
某CRC码的生成多项式g(x)=x4+x+1，如果想 发送一串信息110001…的前6位，并加上 CRC校验，发送码应该如何安排？接收码应 该如何校验？
解：……
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10011 – 两边除以g(x)= x4+x+1 ， 1100010000 10011 – 得余式：r(x)=x3+x2
C ( x) ( x 1)( x x x 1)
4 3 2
(7，3)循环码码集
信息矢量 码矢量 (m2m1m0) (c6c5c4c3 c2c1c0) 000 001 010 011 100 101 110 0000000 0011101 0111010 0100111 1110100 1101001 1001110
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– Denoted by polynomial form for ciGF(2)，
C (cn 1 ,, c1 , c0 ) C ( x) cn 1 x n 1 cn 2 x n 2 c1 x c0
– If C0 (cn 1 , , c1 , c1 ) – Its cyclic right shift
n
证明：……
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3.3 循环码的矩阵描述
– 由前面的式子，
C ( x) m( x) g ( x) (mk 1 x k 1 m1 x m0 ) g ( x) mk 1 x k 1 g ( x) m1 xg ( x) m0 g ( x)
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缩短循环码的特点：
–是(n，k)循环码的子集； –纠错能力不变； –循环性丧失。
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3.5 循环冗余校验码（CRC）
– 是一种系统缩短循环码，广泛应用于帧校验。 CRC码的帧结构：
m(x),共k位 r(x),n-k位
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3.2 构成循环码的方法
（1）对xn-1(在二元域中等效于xn+1)进行因 式分解，找出其中的n-k次因式； • 既约性问题？ • 因式分解的三种情况？
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（2）找到了n-k次因式，作为循环码生成多 项式g(x),与信息多项式m(x)相乘，即得到 码多项式：
– 这样有，
GH T 0
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3.4 缩短循环码
– Reason – Purpose – Rule of selection
• 在（n,k）循环码的2k个码字中挑选，选择 前i个信息比特位均为0的码字（共有2k-i个 这样的码字）,作为（n-i，k-i）缩短循环 码的码字。
C ( x) x
nk
m( x) r ( x)
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–根据定理3.2,有
x 1 g ( x)h( x)
n
–如果g(x)是码生成多项式，那么h(x) 一定是循环码的校验多项式，对于任 意的一个码多项式C(x)，有：
C ( x)h( x) 0 mod(x 1)
n 1
C0 ( x) mod(x 1)
n
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The space of cyclic codes is close, so
C ( x) an 1Cn 1 ( x) an 2 Cn 2 a1C1 ( x) a0 C0 ( x) an 1 x n 1C0 ( x) an 2 x n 2C0 ( x) a1 xC 0 ( x) a0C0 ( x) (an 1 x n 1 an 2 x n 2 a1 x a0 )C0 ( x) A( x)C0 ( x) mod(x n 1)
C ( x) m( x) g ( x)
其中，m(x)最高为k-1次信息多项式；
m (mk 1 ,, m1 , m0 ) m( x) mk 1 x k 1 m1 x m0
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例3-1 分析码长n=7的二进制循环码的所有可能结构。
定理3.1
在一个GF(2)域上的(n，k)循环码中，一定 存在唯一的次数最低的n-k次首一码多项 式g(x),为：
g ( x) x n k g n k 1 x n k 1 g1 x 1
使所有的码多项式都是g(x)的倍式，且所有 的小于n次的g(x)的倍式都是码多项式。
Chapter 3 Cyclic Codes
• Cyclic codes are a subclass of linear block codes.
– Found first byCH and Reed-Solomon codes are a class of cyclic codes.
– 由定理3.2，有
x n 1 g ( x)h( x) ( g n k x n k g1 x g 0 )( hk x k h1 x h0 )
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– 校验矩阵可以写成：
h0 h1 hk 0 h1 h2 0 h0 H 0 h0 hk 1hk
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– So that
C1 ( x) xC0 ( x) mod(x 1)
n
C2 ( x) xC1 ( x) x C0 ( x) mod(x 1)
2 n
C3 ( x) xC 2 ( x) x 3C0 ( x) mod(x n 1) , Cn 1 ( x) xC n 2 ( x) x
C ( x) x
nk
m( x) r ( x)
– r(x)是码字中n-k个校验元对应的n-k-1次多 项式： – 计算方法：
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产生系统循环码的步骤：
（1）信息多项式m(x)乘以xn-k，相当于循环右移n-k 位； （2）用m(x) xn-k除以g(x)，得到余式r(x)。 （3）系统码的码多项式就可以写成：
is also a codeword.
– C0(x) is a code polynomial at code space. – A(x) belong to a vector space with n dimensions.
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2. Two theorems about cyclic codes
– Based on the mathematical theory of finite fields or Calois fields.