10. 满足条件{1,3，5} ∪ 퐴 ∪ {3，5，7} = {1，3，5，7，9}的所有集合 A 的个数是______
个．
11.
已知不等式푥푥2
+ +
2푥
2푎
≤
0的解集为
A，且2
∈
퐴，3 ∉ 퐴，则实数 a 的取值范围是
______．
12. 若函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为
푥
+
4 푥
+
3푎,푥
> 0，且푓(0)为푓(푥)的最小值，则实数 a
的取值范围
是______． 16. 若方程푎푥2−(4−푎2)푥 + 2 = 0 在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17.
己知集合퐴
2푥 −1 = {푥|푥 + 1 ≤ 1,푥
12.【答案】푎 > 1
【解析】解： ∵ 函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数， ∴ 푓(−푥) = 푓(푥)，且푓(−푥) ≠ −푓(푥)，
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{푥2−1 ≥ 0
又 푎−푥2 ≥ 0， ∴ 푎 ≥ 1． 푎 = 1，函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且奇函数， 故答案为：푎 > 1． 利用函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出
万元．源消耗费用之和． (Ⅰ)求 k 的值及푓(푥)的表达式． (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用푓(푥)达到最小，并求最小值．
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20. 已知函数푓(푥) = |푥−푥푎|(푎 > 0)，且满足푓(12) = 1． (1)判断函数푓(푥)在(1, + ∞)上的单调性，并用定义证明； (2)设函数푔(푥) = 푓(푥푥)，求푔(푥)在区间[12,4]上的最大值； (3)若存在实数 m，使得关于 x 的方程2(푥−푎)2−푥|푥−푎| + 2푚푥2 = 0恰有 4 个不同的 正根，求实数 m 的取值范围．
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7. 当푥 > 0时，函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的值域为______．
8.
设푈
= {푥|−5 ≤ 푥
< −2或2 < 푥
≤ 5，푥
∈
푍}，퐴
= {푥|푥2−2푥−15
= 0} ，
퐵 = {−3,
3，4}，则퐴
∩∁ 퐵
푈
= ______．
9. 已知集合퐴 = {−2,1}，퐵 = {푥|푎푥 = 2}，若퐴 ∪ 퐵 = 퐴，则实数 a 值集合为 ______．
7.【答案】[2, + ∞)
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【解析】解： ∵ 푥 > 0，
∴
푓(푥)
=푥
+ 푥−1 = 푥
+
1 푥
≥
2
푥
⋅
1 푥
=
2．
当且仅当푥 = 1时，上式“ = ”成立． ∴ 函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的值域为[2, + ∞)．
故答案为：[2, + ∞)．
直接利用基本不等式求得函数푓(푥) = 푥 + 푥−1的最小值得答案．
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热
层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万
元．该建筑物每年的能源消耗费用퐶(单位：万元)与隔热层厚度푥(单位：푐푚)满足关
系：퐶(푥)
=
3푥
푘 +
5(0
≤
푥
≤ 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8
高一（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 1. 下列命题中，正确的是( )
A. 푥 + 4푥的最小值是 4
B.
푥2 + 4 +
1
푥2 + 4的最小值是 2
C. 如果푎 > 푏，푐 > 푑，那么푎−푐 < 푏−푑
D. 如果푎푐2 > 푏푐2，那么푎 > 푏
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∵ 푃 = {푥|푥 ⊆ 퐴}，푄 = {푥|푥⫋퐵}，⌀是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， ∴ 푃 ∩ 푄 = {푥|푥 ⊆ 퐴且푥⫋퐵} = {⌀}， 故选：B．
4.【答案】B
【解析】解： ∵ 푦 = 푓(푥 + 1)为偶函数， ∴ 푓(−푥 + 1) = 푓(푥 + 1)，故 B 正确， 故选：B． 根据偶函数的定义进行判断即可． 本题主要考查函数奇偶性的应用，结合偶函数的定义是解决本题的关键，比较基础．
C. 푃 ∩ 푄 = {⌀} D. 퐴 ∪ 퐵⫋푃 ∪ 푄
4. 已知函数푦 = 푓(푥 + 1)为偶函数，则下列关系一定成立的是( )
A. 푓(푥) = 푓(−푥) C. 푓(푥 + 1) = 푓(−푥−1)
B. 푓(푥 + 1) = 푓(−푥 + 1) D. 푓(−푥 + 1) = 푓(푥)
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数푦 = 1푥的定义域为______． 6. 已知퐴 = {푥|−1 < 푥 < 2}，{푥|푥2−3푥 < 0,푥 ∈ 푅}，则퐴 ∩ 퐵 = ______．
______ ．
13.
已知 a、b 是常数，且푎푏
≠ 0，若函数푓(푥)
= 푎푥3 +푏푥
1−푥2
+3 的最大值为
10，则
푓(푥)的最小值为______．
14. 设正实数 a、b 满足3푎 + 푎푏 + 푏 = 24，那么푎1푏的最小值为______．
{(푥−푎)2,푥 ≤ 0
15.
已知函数푓(푥) =
9.【答案】{0,−1,2}
【解析】解： ∵ 퐴 ∪ 퐵 = 퐴， ∴ 퐵 ⊆ 퐴， ∴ ①퐵 = ⌀时，푎 = 0； ②퐵 ≠ ⌀时，퐵 = {푎2}，则2푎 = −2或푎2 = 1，解得푎 = −1或 2， ∴ 实数 a 值集合为{0,−1,2}． 故答案为：{0,−1,2}． 根据퐴 ∪ 퐵 = 퐴即可得出퐵 ⊆ 퐴，从而可讨论 B 是否为空集：퐵 = ⌀时，푎 = 0；퐵 ≠ ⌀ 时，푎2 = −2或1，解出 a 即可． 本题考查了描述法、列举法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力， 属于基础题．
考查奇函数与最值的关系，基础题．
14.【答案】112
【解析】解：因为 a，b 为正数，满足3푎 + 푎푏 + 푏 = 24，
所以24 = 3푎 + 푏 + 푎푏 ≥ 2 3푎푏 +푎푏 ；
若存在，求出 a、b 的值，若不存在，请说明理由．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质，属于基础题．
根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于 A，当푥 < 0时，푥 + 4푥的最大值是−4，故 A 不正确；
对于 B， 푥2 + 4 +
1 푥2 +
4
>
2，等号不成立，最小值不为
2，故
B
不正确；
对于 C，푎 > 푏，푐 > 푑，那么푎 + 푐 > 푏 + 푑即푎−푑 > 푏−푐，故 C 不正确；
对于 D， ∵ 푎푐2 > 푏푐2 ， ∴ 푐2 > 0∴，푎 > 푏，故 D 正确．
故选 D．
2.【答案】A
【解析】解：由|푥−2| < 3，得：−3 < 푥−2 < 3，即−1 < 푥 < 5，即 q：−1 < 푥 < 5， 故 p 是 q 的充分不必要条件， 故选：A． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 由퐴 ∩ 퐵 = ⌀得 A 与 B 无公共元素，而 P、Q 分别是由集合 A 的子集、集合 B 的真子集
构成的集合，空集是任何非空集合的真子集．
【解答】 解： ∵ 퐴 ∩ 퐵 = ⌀， ∴ 퐴与 B 没有任何公共元素，
∈
푅}，集合퐵
= {푥|푥2−2푎푥
+ 푎2−1 ≤ 0,푥
∈
푅} ．
(1)求集合 A； (2)若퐵 ∩ (∁푈퐴) = 퐵，求实数 a 的取值范围．
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18. 己知函数푓(푥) = |푥−푎| + |푥 + 푏|． (1)若푎 = 1，푏 = 2，求不等式푓(푥) ≤ 5的解； (2)对任意푎 > 0，푏 > 0，试确定函数푦 = 푓(푥)的最小值푀(用含 a，b 的代数式表示 )，若正数 a、b 满足푎 + 4푏 = 2푎푏，则 a、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出 此最小值．
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题．
8.【答案】{5}
【解析】解： ∵ 푈 = {푥|−5 ≤ 푥 < −2或2 < 푥 ≤ 5，푥 ∈ 푍} = {−5，−4，−3，3，4， 5}， 퐴 = {푥|푥2−2푥−15 = 0} = {−3,5}，퐵 = {−3,3，4}， ∴ 퐶푈퐵 = {−5,−4,5}， ∴ 퐴 ∩ ∁푈퐵 = {5}． 故答案为：{5}． 先分别求出集合 U，A，B，由此能求出结果． 本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题．