一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1、设1D =3512，2D =345510200，则D =12D D O O=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表，每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； （B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

6、1,α2α，，m α和1β，2β，，m β为两个n 维向量组，且1α=2β+3β++m β 2α=1β+3β++m βm α=1β+2β++1m β-则下列结论正确的是 （A ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ< （B ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ> （C ）()()1 212,,,,,,m m R R αααβββ=（D ）无法判定7、设A 为n 阶实对称方阵且为正交矩阵，则有（A ）A=E （B ）A 相似于E （C ）2A E = （D ）A 合同于E8、若1234,,,ηηηη是线性方程组AX O =的基础解系，则1η+2η+3η+4η是AX O =的 （A ）解向量 （B ）基础解系 （C ）通解； （D ）A 的行向量；9、1,λ 2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1X 和2X 分别是对应于1λ和2λ的特征向量，当1,k 2k 满足什么条件时，1122X k X k X =+必是矩阵A 的特征向量。

（A ）10k =且20k =； （B ）10k ≠，20k ≠ （C ）120k k ≠ （D ）10k ≠而20k =10、下列哪一个二次型的矩阵是110130000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦（A ）22121222(,)23f x x x x x x =-+； （B ）22121122(,)3f x x x x x x =-+;(C)221231222(,,)23f x x x x x x x =-+; (D)22123112232(,,)3f x x x x x x x x x =--+;三、计算题（每小题9分，共63分）1、设3阶矩阵，23=23A αγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 23B=βγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中23αβγγ，，，均是3维行向量，且已知行列式A =18，B =2，求A+B 2、解矩阵方程AX+B=X ，其中010A=111101⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ，112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3、设有三维列向量组11=11λα+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 21=11αλ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 31=11αλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，20=βλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦λ为何值时：（1）β可由1 α，2α，3α线性表示，且表示式是唯一的；（2）β不能由1 α，2α，3α线性表示；（3）β可由1 α，2α，3α线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。

4、已知四元非齐次线性方程组AX=β满足()3R A =，123γγγ，，是AX=β的三个解向量，其中122402γγ⎛⎫ ⎪- ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭， 231034γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭求AX=β的通解。

5、已知A=B ，且11A=111a a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，000B=010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求a , b6、齐次线性方程组123123122303402a 0x x x x x x x x x -+=⎧⎫⎪⎪-+=⎨⎬⎪⎪-++=⎩⎭中当a 为何值时，有非零解，并求出通解。

7、用正交变换法化二次型222123123121323(,,)444444f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准型，并求出正交变换。

四、证明题（7分）设A 为m ×n 矩阵，B 为n 阶矩阵，已知()n R A = 证明：若AB=O ，则B=O《高等代数》期末考试题A题参考答案与评分标准一、填空题1、-10；2、81；3、-4，-6，-12；4、()132A E -； 5、5； 二、单项选择题(每小题2分，共20分)三、计算题(每小题9分，共63分)1、2233++A+B =3=124αβαβγγγγ （2分）=2312αγγ+2312βγγ （4分）=232αγγ+2312βγγ （7分）=2×18+12×2=60 （9分）2、()AX+B X E A X B =⇒-= （2分）111013012E A --=-=≠ （3分） ()1X E A B -=- （5分）()102113213011E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（7分）02111311321202030115311X --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦（9分）3、设112233k k k βααα=++21+1111111+1(+3)11+1=(+3)0111+111+A λλλλλλλλ==≠ 0λ⇒≠且3λ≠-时，方程组有唯一解即β可由1 α，2α，3α唯一线性表示， （2）当=3λ-时()21101213A =1213011211290006---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭R(A)=2 ，()R A =3 ∴无解即当=3λ-时，β不能由1 α，2α，3α线性表示 （6分） （3）当=0λ时()11101110A =1110000011100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()R(A)= R A =1<3 ∴有无穷组解 基础解系为：1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭通解为 12112212c c X c c c c ηη--⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭当=0λ时 β可由1 α，2α，3α线性表示为无穷多种形式1211223()c c c c βααα=--++ 1c ，2c 为任意常数 （9分）4、R(A)= 3 <4 AX= θ∴的基础解系含一个解 （2分）i A γβ= （i=1，2，3）设1223211404()()0033242ηγγγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=+-+=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4分）1432η⎛⎫ ⎪- ⎪∴= ⎪- ⎪-⎝⎭ 为基础解系 （6分）()1212111A A 222A γγγγβ⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦()012121021U γγ⎛⎫ ⎪- ⎪∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 为特解 （8分）故A X β=的通解为0124312c c X U c c c η+⎛⎫ ⎪-- ⎪=+= ⎪- ⎪-⎝⎭c 为任意常数 （9分） 5、A B E A E B λλ∴-=-322221113(2)()11a E A ab a b a b b λλλλλλλ----=---=-+--+---- （2分）32001(1)(2)3202E B a λλλλλλλλλλ-=--=--=-+- （4分）32222323(2)()32a b a b λλλλλλ∴-+--+-=-+ （6分）比较同次幂系数有22222()0a b a b ⎧⎫--=⎨⎬-=⎩⎭(8分) 解之， 得 0a b == （9分）6、21301113410112003A a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（3分）当3a =时， ()R A =2<3 有非零解 （5分）基础解系为111η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（8分）通解为 X c η= c 为任意常数 （9分）7、2422242(2)(8)0224E A λλλλλλ----=---=--=--- （3分）特征值为18λ=， 232λλ== （4分）特征向量为1111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2101η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3011η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （6分）正交单位化为1111β⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，2101β⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭，3121β-⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭ （7分） 标准型为 222123822f y y y =++ （8分）正交变换为0X Y⎪=⎪⎪ ⎪ （9分）四、证明题（）()12,,,n B βββ=()()1212,,,,,,n n AB A A A A O ββββββ=== （2分）i A βθ∴= (1,2,,)i n =∴B 的每一列向量为齐次方程组AX θ=的解 （4分）由于()R A n = ∴AX θ=只有零解∴B O = （6分）。