专题06 数列的综合（一）专题点拨1．①若{a n }是公差为d 的等差数列，则d >0时，{a n }是递增数列；0d < 时，{a n }是递减数列；d ＝0时，{a n }是常数列．①等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)可推广为数列通项公式a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ①N *且n >m )． ①若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ①N *)，当{a n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和，等于首末两项之和．①项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ①N *)成等差数列． 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则①S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…构成的数列是等差数列；①⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是一个等差数列；真题赏析1．(2016·上海)已知数列{a n }和{b n }，其中a n ＝n 2，n ①N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ①N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，149161234lg lg b b b b b b b b ＝__________．2．(2016·上海)无穷数列由k 个不同的数组成，S n 为的前n 项和．若对任意n ①N *，S n ①{2，3}，则k 的最大值为__________．3．（2017·上海）已知S n 和T n 分别为数列与数列的前n 项和，且a 1＝e 4，S n ＝e S n ＋1－e 5，a n ＝e b n (n ①N *)，则当T n 取得最大值时，n 的值为________．4．（2018·上海）给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n①N *，都有|b n ﹣a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．（1）设{a n }是首项为1，公比为的等比数列，b n =a n+1+1，n①N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；（2）设数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}，求M 中元素的个数m.例题剖析【例1】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝________.【变式训练1】已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.【例2】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2110a =，3144S =，则n S 取得最大值时n 的为( )A ． 25B ． 27C ． 25 或 26D ． 26 或 27【变式训练2】已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，24a =，36a =，数列12{}n n n a a a ++++是公差为2的等差数列，则25(S = )A ．233B ．282C ．466D ．650【例3】在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，61a l =． （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间1(2m +，212)m +内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m项和m S ，求使得2018m S >的最小整数m ； （3） 若*n N ∈，使不等式1111(21)n n nn a n a a a λ+++++成立， 求实数λ的取值范围 ．【变式训练3】已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{}b n 是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{}b n 的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n. 求数列{}c n 的前n 项和T n .【例4】（2019·普陀区二模）设数列{a n }满足：a 1=2,2a n +1=t ⋅a n+1(其中t 为非零实常数)． (1)设t =2,求证：数列{a n }是等差数列,并求出通项公式；(2)设t =3,记b n =|a n+1−a n |,求使得不等式b 1+b 2+b 3+⋯+b k ≥3940成立的最小正整数k ；(3)若t ≠2,对于任意的正整数n ,均有a n <a n+1,当a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时,求t 、p 、q 的值．巩固训练一、填空题1．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.2．设等比数列{}a n 满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．3.已知函数()2xf x a b =+的图象过点(2,9)和点(4,45)，若数列{}n a 的前n 项和()n S f n =，数列2{}3na log 的前n 项和为n T ，则使得55n T 成立的最小正整数n = ． 4.已知数列{}n a 满足1223n n na a a +=+-，其首项1a a =，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数a 的取值范围是 ． 二、选择题5.记数列{}n a 的前n 项和为n S ． 已知11a =，*1()2()n n n n S S a n N +-=∈，则2018(S = )A ．10093(21)-B ．10093(21)2- C ．20183(21)-D ．20183(21)2- 6.对于数列1x ，2x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()sin ()f x x x x R =+∈及数列1y ，2y ，且1006()y y y R =∈，若111()()(*)()()22n n n n n n n f y y y y n N f y y y ππ-+-⎧⎪=∈⎨+-<⎪⎩，则当01y =时，下列结论正确的应为( )A ．数列1y ，2y ，的“准最大项”存在，且为2πB ．数列1y ，2y ，的“准最大项”存在，且为3π C ．数列1y ，2y ，的“准最大项”存在，且为4π D ．数列1y ，2y ，的“准最大项”不存在7.已知数列{}n a 是等差数列， 数列{}n b 是等比数列， 且满足20172019a a π+=，10114b b =，2018120(2a tanb b =+则 )A ．2B ．2C ．3D 三、解答题8.等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，b 1＝1，且b 2＋S 2＝12，{b n }的公比q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋n ＝a n ＋1，n ①N *.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，b 1＝1，点(T n ＋1，T n )在直线x n ＋1－y n ＝12上，若不等式b 1a 1＋1＋b 2a 2＋1＋…＋b n a n ＋1≥m －92＋2a n对于n ①N *恒成立，求实数m 的最大值．10.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，*11()n n n a b S n N +=+∈．（1） 若11,2n na b ==，求4a 的值； （2） 若{}n a 是公比为(1)q q ≠的等比数列， 求证： 数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列； （3） 若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列， 求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =．11.已知数列中，为它前项之和，且（），．（1）设，求证为等比数列；（2）设，求证为等差数列；（3）求数列的通项公式及前项之和的公式．新题速递1．（2020•虹口区一模）设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = ． 2．（2020•浦东新区一模）设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a = ．3．（2020•宝山区一模）已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c = ． 4．（2020•松江区一模）已知数列{}n a 满足：①*()n a N n N ∈∈；②当*2()k n k N =∈时，2n na =；③当*2()k n k N ≠∈时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求1a ，3a ，9a 的值； （2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是*211()n a n N +=∈．5．（2020•静安区一模）设{}n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S ． （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值；（2）设*11,2()n a n a b n N ==∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ，求d 的取值范围．。