2 ! 霍夫变换原理与实现方法 !$% 霍夫变换原理
%&’! 年 ， ($)$*$+,-./ 根 据 数 学 对 偶 性 原 理 提 出 了 检 测 图
此后， 该方法被不断地研究和发展， 主要应用 象 直 线 的 方 法 0&1， 于模式识别领域中对二值图象进行直线检测。 其原理如图 % 所 示， 平面直角坐标系中的直线 * 表达为：
$+(!,其中， ( 为斜率， - 为截距。
（! ）
， 直线 * 上不同的点 （ !# ， 在参数空间中被变 根据式 （! ） $# ） 若能确定参数空 间 中 的 . 换为一族相交于 . 点的直线。显然， 点 （局部最大值） ， 就实现了直线检测。 由上述霍夫变换原理可知， 霍夫变换具有如下性质 0%"1： （%） 直角坐标系中的一个点映射到参数空间中为一条直线； 参数空间中的一个点对应直角坐标系中的一条直线； （! ） （2 ） 直角坐标系中的共点线映射到参数空间中为一条直 线； 直角坐标系中的共线点映射到参数空间中后为一个交 （# ） 于同一点的直线族。
$@2*1)(*： /0123 L56.7805, -7 6@R6M7 17BS L0 SBLBFL @-.B$Q. L3-7 N6NB5， 6 .BR 6NN@-F6L-0. 08 /0123 L56.7805, -7 N50T N07BS， R3-F3 -7 17BS L0 BDL56FL F15UB 850, ,6.M S-7F5BLB N0-.L7$43B 6NN506F3 F6. SBLBFL F15UB 850, L3B N0-.L7 %"， #" 8-L G * * N0RB5 81.FL-0.$43B 6@205-L3, -7 67 80@@0R7： V-57L@M ， L3B .BR S6L6 N0-.L7 &（% "， # "） 65B 20LLB. L350123 @0265-L3,-F L56.7805,T -.2 L0 L3B S-7F5BLB S6L6 N0-.L7， L3B 5B@6L-0. KBLRBB. %*"， #*" -7 @-.B65 6L L36L L-,B ； WBF0.S@M ， @-.B -7 SBLBFLBS KM 17-.2 /0123 L56.7805, 6.S N656,BLB57 )* ， -* 08 @-.B7 65B 6@70 20LLB.； WBX1B.FB ， L3B S-7L6.FB +," KBLRBB. N0-.L7 08 BS2B 6.S L3B @-.B7 -7 F6@F1@6LBS KM 17-.2 N656,BLB57 )* ， -* ， KM F0,N65-.2 L35B730@S +, R-L3 +,"， N0-.L7 -. L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7 65B BDL56FLBS 6.S -.LB58B5B.FB N0-.L7 6.S .0-7B 08 S6L6 N0-.L7 65B SB@BLBS L00； J67L@M ， @-.B -7 8-LLBS KM 17-.2 6 ,BL30S 08 @B67L 7X165B 6.S 6FF156LB N656,BLB57 ( 6.S ) 08 @-.B7 65B 0KL6-.BS$43B 6@205-L3, -7 -.7B.7-L-UB L0 .0-7B KBT F617B /0123 L56.7805, F6. 5B7-7L6.L .0-7B 6.S 7BN656LB N0-.L7 850, L3B U-F-.-LM 08 S-88B5B.L @-.B7$ A#B6+1C2： /0123 L56.7805,， @B67L 7X165B ， N0RB5 81.FL-0. ， 8-L F15UB
幂函数型曲线的检测方法
5 假设采集到的数据集为 %+ （!#， ， （#3% ， …， $#） !， 6， 6 为数据
集中的数据点数） ， % 中的数据点 !#， $# 满足幂函数关系， 4 表示 幂函数关系式方程个数 （曲线条数） ， 根据曲线检测的目的要求 给定阈值 &’ ， 则可采用如下方法检测幂函数型曲线。
2$%$!
) 数据集中的数据满足 $#,&+( （!#,7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） 关系时的预处理
若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式：
) （!#,7 ） $#,&+(
（5 ）
则可通过作平移变换：
! " $ # +$# ,& # ! ! # +!# ,7 %
$ $
（’ ）
使式 （5 ） 变换成式 （2 ） 。 此时， 同样可以采用 2$%$% 节方法将 曲线方程变换成直线方程。
;* =* 和 椭 圆 )<， ， 对于其 线， 也 有 不 少 文 献 介 绍 用 霍 夫 变 换 检 测 圆 ):，
计数据分析、 计算机视觉中将离散形式的二值边缘轮廓拟合成 连续的曲线、 &’( 系统中获取三维物体图象的线图等。曲线拟 合在计算数学中有多种方法， 最常用的是平方逼近， 即最小二 乘法。最小二乘法的定义 是：
（!""# ） 文章编号 %""!?=99%? !!?"":;?"#
!"# $%%&’()*’+, +- .+/0" !1),2-+13 ’, *"# 4#*#(*’+, +- 5+6#1 7/,(*’+, 8/19#
:#,0 ;’#<’), :"),0 =/’3#’ 8"/ ;/, >/ ?/3’,0 （J6K056L05M 08 &0,N1LB5 O-7-0. ， P6.F36.2 Q.7L-L1LB 08 ’B50.61L-F6@ >.2-.BB5-.2 ， P6.F36.2 99""9#）
具有线性关系； 其次， 用霍夫变换检测 &* 中的直线， 可得直线参数； 然后， 利用霍夫变换所得的直线参数， 计算图象中的 并与给定阈值 +, 比较， 从而将分布在不同直线附近的点分离 出 来 ， 同 时 剔 除 数 据 点 集 &* 中 的 边缘点到直线的距离 +,"， 干扰点或噪声； 最后， 用最小二乘法拟合直线， 得到剔除干扰点或噪声后的拟合曲线方程参数 ( 和 ) 。 关键词 霍夫变换 最小二乘法 幂函数 曲线拟合 文献标识码 ’ 中图分类号 4H9I%$#%
（2 ）
（# ）
其中 $# +678$# 8 ， !# +678!# 8， - +678(8，将 !# ， $# 构成的数据集记 作 %9。 的数据集 经过取对数后， 将原数据集中满足曲线方程 （2 ） 变换成满足直线方程 （# ） 的数据集 %"。 在 %" 中， 就可利用霍 %， 夫变换检测出式 （2 ） 的参数 ( 和 ) 。
2$%
2$%$%
数据预处理
数据集中的数据满足关系时的预处理 若数据集 % 中的数据 !#， $# 满足关系式： （#3% ， …， $# +(!# ， !， 6） 两边求对数， 得： 则对式 （2 ） （#3% ， …， $# +)!# ,- ， !， 6 ； 6 !6 ）
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霍夫变换在幂函数型曲线检测中的应用
曾接贤 张桂梅 储 王君 鲁宇明 （南昌航空工业学院计算机视觉研究室， 南昌 99""9# ）
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摘 要 利用霍夫变换抗噪声能力强和能分离出属于不同直线附近点的特性， 研究离散数据点集 & 中 %"， #" 满足幂函数
G 得到新的数据点集 &（ ， 此时， 关系时的曲线检测问题。首先， 对离散数据点集 & 中的数据 %"， #" 作对数变换， %*"， #*"） %*"， #*"
2$!
图% 直线检测中的霍夫变换
霍夫变换
将式 （# ） 改写成： （#3% ， …， …， - ’ +$# 8) ’ !# ， !， 6 "； ’ 3% ， !， 4）
" " " " "
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霍夫变换实现方法
工程中的实验数据和图象处理中的二值边缘图， 通常都是
（: ）
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， 对 %" 作霍夫变换， 可得拟合直线的参数 （-’ ， 。 根据式 （:） )’ ）
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（% ） * +,-. !)# $!
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为已知数据点； （% ） 为拟合函数。 其中 （ %" ， #" ） ! 显然， 最小二乘法考虑的是已知数据点到拟合函数 （直 线 拟合时为直线） 的距离平方和为最小。 这里存在三个问题， 一是 已知数据点集中若存在干扰点或噪声时， 拟合函数并不通过最 （% ） 为 多的数据点， 拟合误差较大； 二是最小二乘法拟合函数 ! 多项式， 拟合时， 需要给定 ! （% ） 的形式； 三是已知数据点集中 的数据满足于多条曲线关系时， 需事先对已知数据进行分离预
由上述霍夫变换过程可知， 如果参数空间中的 ( 和 - 量化 过粗， 则参数空间中的凝聚效果较差， 找不出直线的准确参数 反之， 那么计算量将增大。 ( 和 -； ( 和 - 量化过细， 另外， 当直角坐标系中的 点 分 布 在 4 条 直 线 附 近 时 ， 可在 第 5 步检测累加器时，取出 累 加 器 中 前 4 个 值 最 大 的 单 元 所 对应的 (’ 和 -（ …， ， 以 (’ 和 - ’ 为 直 角 坐 标 系 中 直 线 !， 4） ’ ’ 3% ， 的参数， 即可同时实现多条直线的检测。 方程式 （! ）