上海市03-08年高考数学试题汇编崇明县教研室 龚为民 卢立臻数列与极限（一）填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =__________。
（05上海理）2、计算：∞→n lim 16)1(32++n n n = .3．计算=++∞→)1(312lim2n n n n .（07上海春） 4、 计算：=+-∞→3423limn n n .(06上海春)5、=++++∞→nn n 212lim . （05上海春）6、计算：1lim 33+∞→n C nn ＝ ．（06上海理）7、计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ .（08上海春） 8、在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= . (03上海理) 9、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = .（08上海春） 10、已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . （08上海春）11、若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= . (03上海理)12、设等比数列{a n }(n ∈N )的公比q ＝－21，且∞→n lim (a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1)＝38，则a 1＝ .（04上海理）13、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列{a n }的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n为大于1的整数， S n 为{a n }的前n 项和.（04上海理） 14、已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面 积，则n n S ∞→lim = . (03上海理)15、在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a n n _____________.（04上海春季）16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
（05上海理）对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in ni i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =。
（05上海理）例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，14，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________。
（05上海理）12312312312312312317、在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列。
然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________.（04上海春季）18、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点. （04上海春季）（1） （2） （3） （4） （5）19、 设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1N ∈=+n a a n n ；（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列； 。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
。
（3）若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列.这些命题中，真命题的序号是 . （05上海春）20、 已知函数2()2log xf x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|n f a -取得最小值时，n = . （05上海春）（二）选择题21、设{})(N n a n ∈是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8，则下列结论错误的是（ ）(03上海春季)(A)d<0 (B)a 7=0 (C)S 9>S 5 (D)S 6和S 7均为S n 的最大值.22、（08上海理）若数列｛a n ｝是首项为l ，公比为a 23-的无穷等比数列，且｛a n ｝各项的和为a ，则a 的值是 [答]（ ）（A ）1. (B)2. (C).21 (D).45(三)解答题23、(03上海理) 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.24、（07上海春）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.(1) 设第2行的数依次为n B B B ,,,21 ，试用q n ,表示n B B B +++ 21的值； (2) 设第3列的数依次为n c c c c ,,,,321 ，求证：对于任意非零实数q ，2312c c c >+； (3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.① 能否找到q 的值，使得(2) 中的数列n c c c c ,,,,321 的前m 项m c c c ,,,21 (3≥m ) 成为等比数列？若能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由.② 能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.25、（08上海春）直角坐标平面xOy 上一列点()()11221,,2,,,A a A a(,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列.（1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +， 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅.26、 (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分7分, 第2小题满分7分. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n, a n + S n =4096. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .对数列{T n },从第几项起T n <－509? （06上海文）27、 (06上海春) 已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？28、（06上海理）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列；（2）若a ＝2122-k ，数列{n b }满足n b ＝)(log 1212n a a a n⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值． 29、 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.0130、（05上海理）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。
预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。
另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。
那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？31、（07上海理）若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S32、(08上海理)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3 a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式；⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100 ； ⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m成等比数列当且仅当d ＝3m 。