2018年徐汇区高考数学一模试卷含答案
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a = 2. 在复平面内，复数
54i
i
+（i 为虚数单位）对应的点的坐标为
3. 函数()f x =的定义域为
4. 二项式4
1()2x x
-
的展开式中的常数项为 5. 若42
021
x
x
=，则x = 6. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是
7. 在坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点1(22
A -，将OA u u u r 绕原点按顺时针方向
旋转2
π
，得到OA 'u u u r ，则OA 'u u u r 的坐标为
8. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，与A 相距海里，船由A 向正北方 向航行海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距 海里（精确到海里）
9. 若公差为d 的等差数列{}n a （*n N ∈）满足3410a a +=，则公差d 的取值范围是 10. 着名的斐波那契数列{}:1,1,2,3,5,8,n a ⋅⋅⋅，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+（*n N ∈）， 那么357920171a a a a a +++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第 项
11. 若不等式1(1)(1)31
n n
a n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是
12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区 间[,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知a 是ABC ∆的一个内角，则“sin 2
α=
45α=︒”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 若z 为实数，则z z =
B. 若z z =，则z 为实数
C. 若z 为实数，则z z ⋅为实数
D. 若z z ⋅为实数，则z 为实数
15. 现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ） A. 3353P P ⋅ B. 863863P P P -⋅ C. 3565P P ⋅ D. 8486P P - 16. 如图，棱长为2的正方体
1111ABCD A B C D -中，E 为
1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上
动点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，梯形ABCD 满足AB ∥CD ，90ABC ∠=︒，且AB =1BC =，
30BAD ∠=︒，现将梯形ABCD 绕AB 所在的直线旋转一周，所得几何体记作Ω.
（1）求Ω的体积V ；
（2）求Ω的表面积S .
18. 如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02
π
ϕ<<
）图像的一部分，M 、 N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，(0,1)E 是线段MC 的中点.
（1）若点M 的坐标为(1,0)-，求点C 、点N 和点D 的坐标；
（2）若点M 的坐标为(,0)m -（0m >），且2
344
MC MD π⋅=-u u u u r u u u u r ，试确定函数()f x 解析
式.
19. 已知函数()||3m
f x x x
=+
-（m R ∈，0x ≠）. （1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）讨论函数()y f x =的零点个数.
20. 已知椭圆22
22:1x y a b
Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴
的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，
点P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且
与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、
CD 的中点.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）求证：直线MB 过定点2
(,0)3
R ； （3）求2MNF ∆面积的最大值.
21. 设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d ，记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-（1,2,3,n =⋅⋅⋅），其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示
12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数.
（1）若2n a n =，42n b n =-，求1c 、2c 、3c 的值，并猜想数列{}n c 通项公式（不必证明）；
（2）设n a n =-，2n b n =-+，若不等式231112222n
n c c c n
λ⋅++⋅⋅⋅+<---对不小于2 的一切自然数n 都成立，求λ的取值范围；
（3）试探究当无穷数列{}n c 为等差数列时，1d 、2d 应满足的条件并证明你的结论.
参考答案
一. 填空题
1. 3
2. (4,5)-
3. (0,10]
4.
3
2
5. 1
6. 22(5)(5)1x y -+-=
7. 1
)2
8. 9. (,2][2,)-∞-+∞U 10. 2018 11. 8[3,)3- 12. 1[,2]2
二. 选择题
13. B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1；
（2）(3π+. 18.（1）(1,2)C ，(3,0)N ，(5,2)D -；（2）()2sin()4
f x x π
=+.
19.（1）非奇非偶函数；（2）当94m >或9
4
m <-时，()y f x =有1个零点； 当94m =
或0m =或9
4m =-时，()y f x =有2个零点； 当904m <<或9
04
m -<<时，()y f x =有3个零点.
20.（1）2
212
x y +=；
（2）证明略；（3）19. 21.（1）10c =，22c =-，34c =-，22n c n =-+（*n N ∈）；（2）1
4
λ>； （3）10d >且212d d ≤或10d =.。